Ultrafiltro en un conjunto

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ultrafiltro en un conjunto${\displaystyle X}$es un filtro máximo en el conjunto${\displaystyle X.}$ En otras palabras, es una colección de subconjuntos de${\displaystyle X}$que satisface la definición de un filtro en${\displaystyle X}$y que es máximo con respecto a la inclusión, en el sentido de que no existe una colección estrictamente mayor de subconjuntos de${\displaystyle X}$Eso también es un filtro. (En lo anterior, por definición, un filtro en un conjunto no contiene el conjunto vacío). De forma equivalente, un ultrafiltro en el conjunto${\displaystyle X}$También puede caracterizarse como un filtro en${\displaystyle X}$con la propiedad de que para cada subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$cualquiera${\displaystyle A}$o su complemento${\displaystyle X\setminus A}$pertenece al ultrafiltro.

Los ultrafiltros en conjuntos son un caso especial importante de ultrafiltros en conjuntos parcialmente ordenados , donde el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto potencia.${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$y el orden parcial es la inclusión de subconjuntos${\displaystyle \,\subseteq .}$ Este artículo trata específicamente sobre ultrafiltros en un plató y no abarca la noción más general.

Hay dos tipos de ultrafiltro en un conjunto. Un ultrafiltro principal en${\displaystyle X}$es la colección de todos los subconjuntos de${\displaystyle X}$que contienen un elemento fijo${\displaystyle x\in X}$Los ultrafiltros que no son principales son los ultrafiltros libres . La existencia de ultrafiltros libres en cualquier conjunto infinito está implícita en el lema del ultrafiltro , que puede demostrarse en ZFC . Por otro lado, existen modelos de ZF donde cada ultrafiltro en un conjunto es principal.

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la topología . ^{[ 1 ] : 186} Por lo general, solo los ultrafiltros libres conducen a construcciones no triviales. Por ejemplo, un ultraproducto módulo un ultrafiltro principal siempre es isomorfo a uno de los factores, mientras que un ultraproducto módulo un ultrafiltro libre suele tener una estructura más compleja.

Dado un conjunto arbitrario${\displaystyle X,}$un ultrafiltro en${\displaystyle X}$es una familia no vacía${\displaystyle U}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$de tal manera que:

1. Adecuado ono degenerado : El conjunto vacío no es un elemento de${\displaystyle U.}$
2. Arriba cerrado en${\displaystyle X}$: Si${\displaystyle A\in U}$y si${\displaystyle B\subsetequ X}$es cualquier superconjunto de${\displaystyle A}$(es decir, si${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$) entonces${\displaystyle B\in U.}$
3. Sistema π : Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son elementos de${\displaystyle U}$Entonces también lo es su intersección.${\displaystyle A\cap B.}$
4. Si${\displaystyle A\subsetequ X}$entonces o${\displaystyle A}$o su complemento${\displaystyle X\setminus A}$es un elemento de${\displaystyle U.}$^{[ nota 1 ]}

Las propiedades (1), (2) y (3) son las propiedades que definen un filtro en${\displaystyle X.}$Algunos autores no incluyen la no degeneración (que es la propiedad (1) mencionada anteriormente) en su definición de "filtro". Sin embargo, la definición de "ultrafiltro" (y también la de "prefiltro" y "subbase de filtro") siempre incluye la no degeneración como condición definitoria. Este artículo exige que todos los filtros sean propios, aunque un filtro pueda describirse como "propio" para enfatizar.

Una subbase de filtro es una familia no vacía de conjuntos que tiene la propiedad de intersección finita (es decir, todas las intersecciones finitas no son vacías). De forma equivalente, una subbase de filtro es una familia no vacía de conjuntos que está contenida en algún filtro (propio). El más pequeño (en relación con${\displaystyle \subseteq }$) Se dice que un filtro que contiene una subbase de filtro dada es generado por la subbase de filtro.

El cierre ascendente en${\displaystyle X}$de una familia de conjuntos${\displaystyle P}$es el conjunto

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ para algún }}A\in P\}.}$

Aprefiltro oLa base del filtro no es vacía y es adecuada (es decir,${\displaystyle \varnothing \not \in P}$) familia de conjuntos${\displaystyle P}$que está dirigido hacia abajo , lo que significa que si${\displaystyle B,C\in P}$entonces existe algo${\displaystyle A\in P}$de tal manera que${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$De forma equivalente, un prefiltro es cualquier familia de conjuntos.${\displaystyle P}$cuyo cierre ascendente${\displaystyle P^{\uparrow X}}$es un filtro, en cuyo caso este filtro se denomina filtro generado por${\displaystyle P}$y${\displaystyle P}$Se dice que es una base de filtro para${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

El dual en${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} de una familia de conjuntos${\displaystyle P}$es el conjunto${\displaystyle X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.}$Por ejemplo, el dual del conjunto de potencias${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$es en sí mismo:${\displaystyle X\setminus {\mathcal {P}}(X)={\mathcal {P}}(X).}$ Una familia de conjuntos es un filtro adecuado en${\displaystyle X}$si y solo si su dual es un ideal adecuado en${\displaystyle X}$(" propio " significa que no es igual al conjunto potencia).

Una familia${\displaystyle U\neq \varnothing }$de subconjuntos de${\displaystyle X}$se llamaultra si${\displaystyle \varnothing \not \in U}$y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. Para cada conjunto${\displaystyle S\subsetequ X}$existe algún conjunto${\displaystyle B\in U}$de tal manera que${\displaystyle B\subseteq S}$o${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$(o equivalentemente, de tal manera que${\displaystyle B\cap S}$igual${\displaystyle B}$o${\displaystyle \varnothing }$).
2. Para cada conjunto${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$existe algún conjunto${\displaystyle B\in U}$de tal manera que${\displaystyle B\cap S}$igual${\displaystyle B}$o${\displaystyle \varnothing .}$
   • Aquí,${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _ {B\in U}}B}$se define como la unión de todos los conjuntos en${\displaystyle U.}$
   • Esta caracterización de "${\displaystyle U}$"es ultra" no depende del conjunto${\displaystyle X,}$así que mencionando el conjunto${\displaystyle X}$es opcional cuando se utiliza el término "ultra".
3. Para cada conjunto${\displaystyle S}$(no necesariamente ni siquiera un subconjunto de${\displaystyle X}$) existe algún conjunto${\displaystyle B\in U}$de tal manera que${\displaystyle B\cap S}$igual${\displaystyle B}$o${\displaystyle \varnothing .}$
   • Si${\displaystyle U}$Si cumple esta condición, entonces también la cumple todo superconjunto.${\displaystyle V\supseteq U.}$En particular, un conjunto${\displaystyle V}$es ultra si y solo si${\displaystyle \varnothing \not \in V}$y${\displaystyle V}$contiene como subconjunto alguna ultrafamilia de conjuntos.

Una subbase de filtro que es ultra es necesariamente un prefiltro. ^{[ prueba 1 ]}

La propiedad ultra ahora se puede utilizar para definir tanto ultrafiltros como ultraprefiltros:

Unultra prefiltro ^{[ 2 ] [ 3 ]} es un prefiltro que es ultra. Equivalentemente, es una subbase de filtro que es ultra.

Unultrafiltro ^{[ 2 ] [ 3 ]} en${\displaystyle X}$es un filtro (apropiado) en${\displaystyle X}$eso es ultra. De forma equivalente, es cualquier filtro en${\displaystyle X}$que se genera mediante un ultra prefiltro.

Ultra prefiltros como prefiltros máximos

Para caracterizar los ultra prefiltros en términos de "maximalidad", se necesita la siguiente relación.

Dadas dos familias de conjuntos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N,}$la familia${\displaystyle M}$Se dice que es más grueso ^{[ 4 ] [ 5 ]} que${\displaystyle N,}$y${\displaystyle N}$es más fino que y subordinado a${\displaystyle M,}$escrito${\displaystyle M\leq N}$o N ⊢ M , si para cada${\displaystyle C\in M,}$hay algo${\displaystyle F\in N}$de tal manera que${\displaystyle F\subseteq C.}$Las familias${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$se denominan equivalentes si${\displaystyle M\leq N}$y${\displaystyle N\leq M.}$Las familias${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son comparables si uno de estos conjuntos es más fino que el otro. ^{[ 4 ]}

La relación de subordinación, es decir${\displaystyle \,\geq ,\,}$es un preorden, por lo que la definición anterior de "equivalente" sí forma una relación de equivalencia .${\displaystyle M\subseteq N}$entonces${\displaystyle M\leq N}$pero lo contrario no se cumple en general. Sin embargo, si${\displaystyle N}$está cerrado hacia arriba, como un filtro, entonces${\displaystyle M\leq N}$si y solo si${\displaystyle M\subseteq N.}$ Cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Esto demuestra que es posible que los filtros sean equivalentes a conjuntos que no son filtros.

Si dos familias de conjuntos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son equivalentes entonces ambos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son ultra (respectivamente, prefiltros, subbases de filtro) o ninguno de ellos es ultra (respectivamente, un prefiltro, una subbase de filtro). En particular, si una subbase de filtro no es también un prefiltro, entonces no es equivalente al filtro o prefiltro que genera. Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$¿Ambos filtros están activados?${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son equivalentes si y solo si${\displaystyle M=N.}$Si un filtro adecuado (o ultrafiltro) es equivalente a una familia de conjuntos${\displaystyle M}$entonces${\displaystyle M}$es necesariamente un prefiltro (o ultraprefiltro). Utilizando la siguiente caracterización, es posible definir prefiltros (o ultraprefiltros) utilizando únicamente el concepto de filtros (o ultrafiltros) y subordinación:

Una familia arbitraria de conjuntos es un prefiltro si y solo si es equivalente a un filtro (propio).

Una familia arbitraria de conjuntos es un ultra prefiltro si y solo si es equivalente a un ultrafiltro.

Aprefiltro máximo activado${\displaystyle X}$^{[ 2 ] [ 3 ]} es un prefiltro${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$que cumpla cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle U}$es ultra.
2. ${\displaystyle U}$es máximo en${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$con respecto a${\displaystyle \,\leq ,}$lo que significa que si${\displaystyle P\in \operatorname {Prefilters} (X)}$Satisface${\displaystyle U\leq P}$entonces${\displaystyle P\leq U.}$^{[ 3 ]}
3. No existe ningún prefiltro debidamente subordinado a${\displaystyle U.}$^{[ 3 ]}
4. Si un filtro (adecuado)${\displaystyle F}$en${\displaystyle X}$Satisface${\displaystyle U\leq F}$entonces${\displaystyle F\leq U.}$
5. El filtro en${\displaystyle X}$generado por${\displaystyle U}$es ultra.

No hay ultrafiltros en el conjunto vacío , por lo que de ahora en adelante se asume que${\displaystyle X}$no está vacío.

Una subbase de filtro${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$es un ultrafiltro en${\displaystyle X}$si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. para cualquier${\displaystyle S\subseteq X,}$cualquiera${\displaystyle S\in U}$o${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$es una subbase de filtro máxima en${\displaystyle X,}$lo que significa que si${\displaystyle F}$¿Hay algún subfiltro en?${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle U\subseteq F}$implica${\displaystyle U=F.}$^{[ 6 ]}

Un filtro (adecuado)${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$es un ultrafiltro en${\displaystyle X}$si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle U}$es ultra;
2. ${\displaystyle U}$se genera mediante un ultra prefiltro;
3. Para cualquier subconjunto${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S\in U}$o${\displaystyle X\setminus S\in U.}$^{[ 6 ]}
   • Entonces, un ultrafiltro${\displaystyle U}$decide por cada${\displaystyle S\subseteq X}$si${\displaystyle S}$es "grande" (es decir,${\displaystyle S\in U}$) o "pequeño" (es decir${\displaystyle X\setminus S\in U}$). ^{[ 7 ]}
4. Para cada subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$cualquiera ^{[ nota 1 ]}${\displaystyle A}$está en${\displaystyle U}$o (${\displaystyle X\setminus A}$) es.
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)={\mathcal {P}}(X).}$Esta condición puede reformularse como:${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$está particionado por${\displaystyle U}$y su dualidad${\displaystyle X\setminus U.}$
   • Los conjuntos${\displaystyle P}$y${\displaystyle X\setminus P}$son disjuntos para todos los prefiltros${\displaystyle P}$en${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)\setminus U=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X):S\not \in U\right\}}$es un ideal en${\displaystyle X.}$^{[ 6 ]}
7. Para cualquier familia finita${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$(dónde${\displaystyle n\geq 1}$), si${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$entonces${\displaystyle S_{i}\in U}$para algún índice${\displaystyle i.}$
   • En otras palabras, un conjunto "grande" no puede ser una unión finita de conjuntos ninguno de los cuales es grande. ^{[ 8 ]}
8. Para cualquier${\displaystyle R,S\subseteq X,}$si${\displaystyle R\cup S=X}$entonces${\displaystyle R\in U}$o${\displaystyle S\in U.}$
9. Para cualquier${\displaystyle R,S\subseteq X,}$si${\displaystyle R\cup S\in U}$entonces${\displaystyle R\in U}$o${\displaystyle S\in U}$(un filtro con esta propiedad se llamafiltro principal ).
10. Para cualquier${\displaystyle R,S\subseteq X,}$si${\displaystyle R\cup S\in U}$y${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$entonces o${\displaystyle R\in U}$o${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$es un filtro máximo; es decir, si${\displaystyle F}$es un filtro en${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle U\subseteq F}$entonces${\displaystyle U=F.}$De forma equivalente,${\displaystyle U}$es un filtro máximo si no hay filtro${\displaystyle F}$en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle U}$como un subconjunto propio (es decir, ningún filtro es estrictamente más fino que${\displaystyle U}$). ^{[ 6 ]}

Si${\displaystyle X}$es un conjunto infinito entonces hay tantos ultrafiltros como${\displaystyle X}$ya que existen familias de subconjuntos de${\displaystyle X;}$explícitamente, si${\displaystyle X}$tiene cardinalidad infinita${\displaystyle \kappa }$luego el conjunto de ultrafiltros sobre${\displaystyle X}$tiene la misma cardinalidad que${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X));}$esa cardinalidad siendo${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}.}$^{[ 11 ]}

Si${\displaystyle U}$y${\displaystyle S}$son familias de conjuntos tales que${\displaystyle U}$es ultra,${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$y${\displaystyle U\leq S,}$entonces${\displaystyle S}$es necesariamente ultra. Una subbase de filtro${\displaystyle U}$que no es un prefiltro no puede ser ultra; pero no obstante, todavía es posible para el prefiltro y el filtro generado por${\displaystyle U}$ser ultra.

Suponer${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es ultra y${\displaystyle Y}$es un conjunto. El rastro${\displaystyle U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}}$es ultra si y solo si no contiene el conjunto vacío. Además, al menos uno de los conjuntos${\displaystyle U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}}$y${\displaystyle U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}}$será ultra (este resultado se extiende a cualquier partición finita de${\displaystyle X}$). Si${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$¿Hay filtros en?${\displaystyle X,}$${\displaystyle U}$es un ultrafiltro en${\displaystyle X,}$y${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$entonces hay algo${\displaystyle F_{i}}$que satisface${\displaystyle F_{i}\leq U.}$^{[ 12 ]} Este resultado no es necesariamente cierto para una familia infinita de filtros. ^{[ 12 ]}

La imagen debajo de un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$de un conjunto ultra${\displaystyle U\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$es de nuevo ultra y si${\displaystyle U}$es un prefiltro ultra entonces también lo es${\displaystyle f(U).}$La propiedad de ser ultra se conserva bajo biyecciones. Sin embargo, la preimagen de un ultrafiltro no es necesariamente ultra, ni siquiera si la aplicación es sobreyectiva. Por ejemplo, si${\displaystyle X}$tiene más de un punto y si el rango de${\displaystyle f:X\to Y}$consta de un solo punto${\displaystyle \{y\}}$entonces${\displaystyle \{y\}}$es un prefiltro ultra en${\displaystyle Y}$pero su preimagen no es ultra. Alternativamente, si${\displaystyle U}$es un filtro principal generado por un punto en${\displaystyle Y\setminus f(X)}$entonces la preimagen de${\displaystyle U}$contiene el conjunto vacío y por lo tanto no es ultra.

El filtro elemental inducido por una secuencia infinita, cuyos puntos son todos distintos, no es un ultrafiltro. ^{[ 12 ]} Si${\displaystyle n=2,}$entonces${\displaystyle U_{n}}$denota el conjunto que consta de todos los subconjuntos de${\displaystyle X}$tener cardinalidad${\displaystyle n,}$y si${\displaystyle X}$contiene al menos${\displaystyle 2n-1}$(${\displaystyle =3}$) puntos distintos, entonces${\displaystyle U_{n}}$es ultra pero no está contenido en ningún prefiltro. Este ejemplo se generaliza a cualquier entero${\displaystyle n>1}$y también a${\displaystyle n=1}$si${\displaystyle X}$Contiene más de un elemento. Los conjuntos Ultra que no son también prefiltros se utilizan raramente.

Por cada${\displaystyle S\subseteq X\times X}$y cada${\displaystyle a\in X,}$dejar${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.}$Si${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es un ultrafiltro en${\displaystyle X}$entonces el conjunto de todos${\displaystyle S\subseteq X\times X}$de tal manera que${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$es un ultrafiltro en${\displaystyle X\times X.}$^{[ 13 ]}

El lema del ultrafiltro fue demostrado por primera vez por Alfred Tarski en 1930. ^{[ 13 ]}

El lema del ultrafiltro es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

1. Por cada prefiltro en un conjunto${\displaystyle X,}$existe un prefiltro máximo en${\displaystyle X}$subordinado a él. ^{[ 2 ]}
2. Cada subbase de filtro adecuada en un conjunto${\displaystyle X}$está contenido en algún ultrafiltro en${\displaystyle X.}$

Una consecuencia del lema del ultrafiltro es que todo filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^{[ 4 ] [ nota 2 ]}

Los siguientes resultados pueden demostrarse utilizando el lema del ultrafiltro. Existe un ultrafiltro libre en un conjunto${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle X}$es infinito. Todo filtro propio es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^{[ 4 ]} Dado que hay filtros que no son ultra, esto demuestra que la intersección de una familia de ultrafiltros no tiene por qué ser ultra. Una familia de conjuntos${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$puede extenderse a un ultrafiltro libre si y solo si la intersección de cualquier familia finita de elementos de${\displaystyle \mathbb {F} }$es infinito.

La exhaustividad de un ultrafiltro${\displaystyle U}$en un conjunto potencia es el cardinal más pequeño κ tal que hay κ elementos de${\displaystyle U}$cuya intersección no está en${\displaystyle U.}$La definición de un ultrafiltro implica que la completitud de cualquier ultrafiltro de conjunto de potencias es al menos${\displaystyle \aleph _{0}}$. Un ultrafiltro cuya completitud es mayor que${\displaystyle \aleph _{0}}$—es decir, la intersección de cualquier colección contable de elementos de${\displaystyle U}$todavía está en${\displaystyle U}$—se denomina completo numerable o σ-completo .

La completitud de un ultrafiltro no principal numerablemente completo en un conjunto potencia es siempre un cardinal medible .

ElEl ordenamiento de Rudin-Keisler (llamado así en honor aMary Ellen RudinyHoward Jerome Keisler) es unpreordenamientoen la clase de ultrafiltros de conjuntos de potencia definidos de la siguiente manera: si${\displaystyle U}$es un ultrafiltro en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$y${\displaystyle V}$un ultrafiltro en${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y),}$entonces${\displaystyle V\leq {}_{RK}U}$si existe una función${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que

${\displaystyle C\in V}$si y solo si${\displaystyle f^{-1}[C]\in U}$

para cada subconjunto${\displaystyle C\subseteq Y.}$

Ultrafiltros${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$se llamanEquivalente de Rudin-Keisler , denotado U ≡ _RK V , si existen conjuntos${\displaystyle A\in U}$y${\displaystyle B\in V}$y una biyección${\displaystyle f:A\to B}$que cumpla la condición anterior. (Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$tienen la misma cardinalidad, la definición se puede simplificar fijando${\displaystyle A=X,}$${\displaystyle B=Y.}$)

Se sabe que ≡ _RK es el núcleo de ≤ _RK , es decir, que U ≡ _RK V si y solo si${\displaystyle U\leq {}_{RK}V}$y${\displaystyle V\leq {}_{RK}U.}$^{[ 30 ]}

Existen varias propiedades especiales que un ultrafiltro posee${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega ),}$dónde${\displaystyle \omega }$extiende los números naturales que puede poseer, los cuales resultan útiles en diversas áreas de la teoría de conjuntos y la topología.

• Un ultrafiltro no principal${\displaystyle U}$se denomina punto P (odébilmente selectivo ) si para cadapartición${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$de${\displaystyle \omega }$de tal manera que para todos${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$existe algo${\displaystyle A\in U}$de tal manera que${\displaystyle A\cap C_{n}}$es un conjunto finito para cada${\displaystyle n.}$
• Un ultrafiltro no principal${\displaystyle U}$Se denomina Ramsey (o selectiva ) si para cada partición${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$de${\displaystyle \omega }$de tal manera que para todos${\displaystyle n<\omega ,}$${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$existe algo${\displaystyle A\in U}$de tal manera que${\displaystyle A\cap C_{n}}$es un conjunto unitario para cada${\displaystyle n.}$

Es una observación trivial que todos los ultrafiltros de Ramsey son puntos P. Walter Rudin demostró que la hipótesis del continuo implica la existencia de ultrafiltros de Ramsey. ^{[ 31 ]} De hecho, muchas hipótesis implican la existencia de ultrafiltros de Ramsey, incluido el axioma de Martin . Saharon Shelah demostró posteriormente que es consistente que no existan ultrafiltros de punto P. ^{[ 32 ]} Por lo tanto, la existencia de este tipo de ultrafiltros es independiente de ZFC .

Los puntos P se denominan así porque son puntos P topológicos en la topología usual del espacio βω \ ω de ultrafiltros no principales. El nombre Ramsey proviene del teorema de Ramsey . Para ver por qué, se puede demostrar que un ultrafiltro es Ramsey si y solo si para cada 2-coloración de${\displaystyle [\omega ]^{2}}$Existe un componente del ultrafiltro que presenta un color homogéneo.

Un ultrafiltro en${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$es Ramsey si y solo si es mínimo en el ordenamiento de Rudin-Keisler de ultrafiltros de conjuntos de potencia no principales. ^{[ 33 ]}

• Extensor (teoría de conjuntos)
• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Teorema de Łoś – Construcción matemática Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Ultrafiltro – Filtro adecuado de máxima potencia 
• Red universal : generalización de una secuencia de puntos. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 

Pruebas

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