Ultrafinitismo

En la filosofía de las matemáticas , el ultrafinitismo , el ultraintuicionismo , ^{[ 1 ]} el formalismo estricto , ^{[ 2 ]} el finitismo estricto , ^{[ 2 ]} el actualismo , ^{[ 1 ]} el predicativismo , ^{[ 2 ] [ 3 ]} y el finitismo fuerte ^{[ 2 ]} son ​​diversas filosofías de las matemáticas con aspectos del finitismo y el intuicionismo . Un rasgo común a estas filosofías es su objeción a la totalidad de las funciones de la teoría de números, como la exponenciación sobre los números naturales .

Al igual que otros finitistas , los ultrafinitistas niegan la existencia del conjunto infinito.${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales , partiendo de la base de que nunca se puede completar.

Además, a algunos ultrafinitistas les preocupa la aceptación de objetos en matemáticas que nadie puede construir en la práctica debido a las restricciones físicas en la construcción de grandes objetos matemáticos finitos. Por lo tanto, algunos ultrafinitistas negarán o se abstendrán de aceptar la existencia de números grandes, por ejemplo, el piso del primer número de Skewes , que es un número enorme definido usando la función exponencial como exp(exp(exp(79))), o

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}$

La razón es que nadie ha calculado aún qué número natural es el piso de este número real , y puede que ni siquiera sea físicamente posible hacerlo. De manera similar,${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$(en la notación de flecha hacia arriba de Knuth ) se consideraría solo una expresión formal que no corresponde a un número natural. La variante de ultrafinitismo que se ocupa de la realizabilidad física de las matemáticas se suele llamar actualismo .

Edward Nelson criticó la concepción clásica de los números naturales debido a la circularidad de su definición. En matemáticas clásicas, los números naturales se definen como 0 y los números obtenidos mediante la aplicación iterativa de la función sucesora a 0. Pero el concepto de número natural ya se da por sentado para la iteración. En otras palabras, para obtener un número como${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$uno necesita realizar la función sucesora iterativamente (de hecho, exactamente${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$veces) a 0.

Algunas versiones del ultrafinitismo son formas de constructivismo , pero la mayoría de los constructivistas consideran esta filosofía excesivamente extrema e impracticable. El fundamento lógico del ultrafinitismo no está claro; en su exhaustivo estudio Constructivism in Mathematics (1988), el lógico constructivista A. S. Troelstra lo descartó afirmando que «actualmente no existe ningún desarrollo satisfactorio». Esto no era tanto una objeción filosófica como una admisión de que, en una obra rigurosa de lógica matemática , simplemente no había nada lo suficientemente preciso como para incluirlo.

El trabajo serio sobre el ultrafinitismo fue liderado, desde 1959 hasta su muerte en 2016, por Alexander Esenin-Volpin , quien en 1961 esbozó un programa para demostrar la consistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en matemáticas ultrafinitas. Otros matemáticos que han trabajado en este tema son Doron Zeilberger , Edward Nelson , Rohit Jivanlal Parikh y Jean Paul Van Bendegem . Esta filosofía también se asocia a veces con las creencias de Ludwig Wittgenstein , Robin Gandy , Petr Vopěnka y Johannes Hjelmslev .

Shaughan Lavine ha desarrollado una forma de ultrafinitismo conjuntista que es consistente con las matemáticas clásicas. ^{[ 4 ]} Lavine ha demostrado que los principios básicos de la aritmética, como "no existe un número natural mayor", pueden mantenerse, ya que Lavine permite la inclusión de números "infinitamente grandes". ^{[ 4 ]}

Otras consideraciones sobre la posibilidad de evitar números grandes y difíciles de manejar pueden basarse en la teoría de la complejidad computacional , como en el trabajo de András Kornai sobre el finitismo explícito (que no niega la existencia de números grandes) ^{[ 5 ]} y la noción de números factibles de Vladimir Sazonov .

También se ha producido un desarrollo formal considerable en versiones del ultrafinitismo basadas en la teoría de la complejidad, como las teorías de aritmética acotada de Samuel Buss , que capturan las matemáticas asociadas con diversas clases de complejidad como P y PSPACE . El trabajo de Buss puede considerarse una continuación del trabajo de Edward Nelson sobre aritmética predicativa , ya que las teorías de aritmética acotada como S12 son interpretables en la teoría Q de Raphael Robinson y, por lo tanto, son predicativas en el sentido de Nelson . El poder de estas teorías para el desarrollo de las matemáticas se estudia en la matemática inversa acotada, como se puede encontrar en los trabajos de Stephen A. Cook y Phuong The Nguyen . Sin embargo, estas no son filosofías de las matemáticas, sino más bien el estudio de formas restringidas de razonamiento similares a la matemática inversa .

• Finitismo
• Teoría interna de conjuntos : un enriquecimiento de ZFC que incluye teoremas como "existe un número natural estándar máximo". Desarrollada por el ultrafinitista Edward Nelson .
• Problema transcomputacional

• Ésénine-Volpine, AS (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Métodos infinitistas (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varsovia, 1959) , Oxford: Pergamon, págs. 201–223 , MR 0147389  Revisado por Kreisel, G.; Ehrenfeucht, A. (1967), "Revisión de Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques por AS Ésénine-Volpine", The Journal of Symbolic Logic , 32 (4), Association for Symbolic Logic: 517, doi : 10.2307/2270182 , JSTOR 2270182 
• Lavine, S., 1994. Entendiendo el infinito , Cambridge, MA: Harvard University Press.

• Finitismo explícito de András Kornai
• Sobre las cifras factibles de Vladimir Sazonov
• El análisis "real" es un caso degenerado del análisis discreto, por Doron Zeilberger.
• Discusión sobre fundamentos formales en MathOverflow
• Historia del constructivismo en el siglo XX por A.S. Troelstra
• Aritmética predicativa de Edward Nelson
• Fundamentos lógicos de la complejidad de las pruebas, por Stephen A. Cook y Phuong The Nguyen.
• Matemáticas inversas acotadas por Phuong The Nguyen
• Lectura de “Ad Infinitum…” de Brian Rotman por Charles Petzold
• Teoría de la complejidad computacional