Probabilidad condicional

Si${\displaystyle P(B)=0}$, entonces según la definición,${\displaystyle P(A\mid B)}$no está definido .

El caso de mayor interés es el de una variable aleatoria Y , condicionada a una variable aleatoria continua X que resulta en un resultado particular x . El evento${\displaystyle B=\{X=x\}}$tiene probabilidad cero y, como tal, no se puede condicionar.

En lugar de condicionar a que X sea exactamente x , podríamos condicionar a que esté más cerca que la distancia${\displaystyle \varepsilon }$lejos de x . El evento${\displaystyle B=\{x-\varepsilon <X<x+\varepsilon \}}$En general, tendrá una probabilidad distinta de cero y, por lo tanto, se puede condicionar. Entonces podemos tomar el límite.

Por ejemplo, si dos variables aleatorias continuas X e Y tienen una densidad conjunta${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$, luego por la regla de L'Hôpital y la regla integral de Leibniz , al diferenciar con respecto a${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\varepsilon \to 0}P(Y\in U\mid x_{0}-\varepsilon <X<x_{0}+\varepsilon )&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{U}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}-\varepsilon }^{x_{0}+\varepsilon }\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}}\\[6pt]&={\frac {\int _{U}f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x_{0},y)\,\mathrm {d} y}}.\end{aligned}}}$

El límite resultante es la distribución de probabilidad condicional de Y dado X y existe cuando el denominador, la densidad de probabilidad${\displaystyle f_{X}(x_{0})}$, es estrictamente positivo.

Resulta tentador definir la probabilidad indefinida.${\displaystyle P(A\mid X=x)}$utilizando limit( 1 ), pero esto no se puede hacer de manera consistente. En particular, es posible encontrar variables aleatorias X y W y valores x , w tales que los eventos${\displaystyle \{X=x\}}$y${\displaystyle \{W=w\}}$son idénticos, pero los límites resultantes no lo son:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid x-\varepsilon \leq X\leq x+\varepsilon )\neq \lim _{\varepsilon \to 0}P(A\mid w-\varepsilon \leq W\leq w+\varepsilon ).}$

La paradoja de Borel-Kolmogorov lo demuestra mediante un argumento geométrico.

Sea X una variable aleatoria discreta y sus posibles resultados denotemos V. Por ejemplo, si X representa el valor de un dado lanzado, entonces V es el conjunto${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$Supongamos, a efectos de presentación, que X es una variable aleatoria discreta, de modo que cada valor en V tiene una probabilidad distinta de cero.

Para un valor x en V y un evento A , la probabilidad condicional viene dada por${\displaystyle P(A\mid X=x)}$. Escribiendo

${\displaystyle c(x,A)=P(A\mid X=x)}$

En resumen, vemos que es una función de dos variables, x y A.

Para un A fijo , podemos formar la variable aleatoria${\displaystyle Y=c(X,A)}$Representa un resultado de${\displaystyle P(A\mid X=x)}$siempre que se observe un valor x de X.

La probabilidad condicional de A dado X puede tratarse, por lo tanto, como una variable aleatoria Y con resultados en el intervalo${\displaystyle [0,1]}$. Según la ley de probabilidad total , su valor esperado es igual a la probabilidad incondicional de A.

La probabilidad condicional parcial ${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})}$ se trata de la probabilidad de un evento ${\displaystyle A}$dado que cada uno de los eventos de condición ${\displaystyle B_{i}}$ha ocurrido en cierta medida ${\displaystyle b_{i}}$(grado de creencia, grado de experiencia) que podría ser diferente del 100%. Frecuentísticamente, la probabilidad condicional parcial tiene sentido si las condiciones se prueban en repeticiones experimentales de duración apropiada. ${\displaystyle n}$. ^{[ 10 ]} Tal ${\displaystyle n}$La probabilidad condicional parcial acotada se puede definir como la ocurrencia promedio esperada condicionalmente del evento.${\displaystyle A}$en bancos de prueba de longitud ${\displaystyle n}$que se ajustan a todas las especificaciones de probabilidad ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}$, es decir:

${\displaystyle P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\operatorname {E} ({\overline {A}}^{n}\mid {\overline {B}}_{1}^{n}=b_{1},\ldots ,{\overline {B}}_{m}^{n}=b_{m})}$^{[ 10 ]}

Sobre esa base, la probabilidad condicional parcial se puede definir como

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\lim _{n\to \infty }P^{n}(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m}),}$

dónde${\displaystyle b_{i}n\in \mathbb {N} }$^{[ 10 ]}

La condicionalización de Jeffrey ^{[ 11 ] [ 12 ]} es un caso especial de probabilidad condicional parcial, en el que los eventos de condición deben formar una partición :

${\displaystyle P(A\mid B_{1}\equiv b_{1},\ldots ,B_{m}\equiv b_{m})=\sum _{i=1}^{m}b_{i}P(A\mid B_{i})}$

Cuando se transmite código Morse , existe cierta probabilidad de que el punto o la raya recibida sea errónea. Esto suele interpretarse como interferencia en la transmisión del mensaje. Por lo tanto, al enviar un punto, es importante considerar, por ejemplo, la probabilidad de que se reciba un punto. Esto se representa mediante:${\displaystyle P({\text{dot sent }}|{\text{ dot received}})=P({\text{dot received }}|{\text{ dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}.}$En el código Morse, la proporción de puntos a rayas es de 3:4 en el momento de la transmisión, por lo que las probabilidades de un "punto" y una "raya" son${\displaystyle P({\text{dot sent}})={\frac {3}{7}}{\text{ and }}P({\text{dash sent}})={\frac {4}{7}}}$Si se supone que la probabilidad de que un punto se transmita como una raya es 1/10, y que la probabilidad de que una raya se transmita como un punto es igualmente 1/10, entonces se puede utilizar la regla de Bayes para calcular${\displaystyle P({\text{dot received}})}$.

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\cap {\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\cap {\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}})P({\text{dot sent}})+P({\text{dot received}}\mid {\text{dash sent}})P({\text{dash sent}})}$

${\displaystyle P({\text{dot received}})={\frac {9}{10}}\times {\frac {3}{7}}+{\frac {1}{10}}\times {\frac {4}{7}}={\frac {31}{70}}}$

Ahora,${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})}$se puede calcular:

${\displaystyle P({\text{dot sent}}\mid {\text{dot received}})=P({\text{dot received}}\mid {\text{dot sent}}){\frac {P({\text{dot sent}})}{P({\text{dot received}})}}={\frac {9}{10}}\times {\frac {\frac {3}{7}}{\frac {31}{70}}}={\frac {27}{31}}}$^{[ 14 ]}

Eventos dependientes (Dado de seis caras)

Consideremos el experimento de lanzar un dado justo de seis caras, donde el espacio muestral es${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$. Sea A el evento que denota la ocurrencia de un número par, entonces${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$y sea el evento B la ocurrencia de un número menor o igual a 3 , por lo tanto${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$. Antes de que se disponga de información adicional, las probabilidades de estos eventos son${\displaystyle P(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$y${\displaystyle P(B)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$La intersección de los dos eventos es${\displaystyle A\cap B=\{2\}}$y por lo tanto${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {1}{6}}}$Si los eventos fueran estadísticamente independientes, esperaríamos${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$. Sin embargo,${\displaystyle {\frac {1}{6}}\neq {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$, lo que indica que los eventos A y B no son independientes, sino que son estadísticamente dependientes.

Ahora supongamos que un observador revela que ha ocurrido el evento A ; es decir, se sabe que el resultado es un número par. Esta nueva información reduce el espacio muestral efectivo de${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$a${\displaystyle A=\{2,4,6\}}$Dentro de este espacio de muestra reducido, el evento B solo puede ocurrir cuando el resultado es 2 , por lo que el evento relevante se convierte en${\displaystyle A\cap B=\{2\}}$. En consecuencia, la probabilidad condicional del evento B dado que el evento A ha ocurrido es${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/6}{1/2}}={\frac {1}{3}}}$. Por lo tanto, la probabilidad del evento B cambia de${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$a${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$Tras proporcionar la información adicional, este cambio en la probabilidad demuestra que el conocimiento del evento A afecta la probabilidad del evento B , confirmando así la dependencia estadística entre ambos eventos. En tales situaciones, la información adicional reduce la incertidumbre y puede influir significativamente en la toma de decisiones racionales, la predicción y el comportamiento en las apuestas.

Eventos independientes (dado de ocho caras)

Consideremos el experimento de lanzar un dado justo de ocho caras con espacio muestral${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$. Sea el evento A el resultado menor que 5 , de modo que${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$y sea el evento B el resultado que sea 3, 4, 5 o 6 , de modo que${\displaystyle B=\{3,4,5,6\}}$Inicialmente, las probabilidades de estos eventos son${\displaystyle P(A)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}}$y${\displaystyle P(B)={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}}$La intersección de los dos eventos es${\displaystyle A\cap B=\{3,4\}}$y por lo tanto${\displaystyle P(A\cap B)={\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}}$. Desde${\displaystyle P(A)P(B={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$, obtenemos${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$, lo que confirma que los eventos A y B son estadísticamente independientes.

Ahora supongamos que un observador revela que el evento (A) ha ocurrido. Esta información reduce el espacio muestral efectivo de${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}}$a${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$Dentro de este espacio de muestra reducido, los resultados que también satisfacen el evento B son:${\displaystyle A\cap B=\{3,4\}}$. En consecuencia, la probabilidad condicional del evento B dado que el evento A ha ocurrido es ${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\frac {1/4}{1/2}}={\frac {1}{2}}}$. Nótese que esta probabilidad condicional es igual a la probabilidad original del evento B , es decir,${\displaystyle P(B\mid A)=P(B)}$Por lo tanto, saber que ha ocurrido el evento A no cambia la probabilidad del evento B. La información proporcionada por el evento A no afecta la incertidumbre asociada al evento B , lo que demuestra la propiedad fundamental de la independencia estadística: el conocimiento de un evento no altera la probabilidad del otro.

Interpretación

Por lo tanto, la independencia estadística puede interpretarse como la ausencia de valor informativo entre eventos. Si el conocimiento de un evento modifica la probabilidad de otro, los eventos son dependientes. Por el contrario, si la probabilidad permanece inalterada tras obtener nueva información, los eventos son independientes.

Formalmente, dos eventos A y B son independientes si y solo si:

${\displaystyle P(B\mid A)=P(B),}$lo cual es equivalente a:${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

En este sentido, la independencia implica que la observación de un evento no proporciona información adicional sobre la ocurrencia del otro evento.

En general, no se puede asumir que P ( A | B )  ≈ P ( B | A ). Esto puede ser un error insidioso, incluso para aquellos que están muy familiarizados con la estadística. ^{[ 17 ]} La relación entre P ( A | B ) y P ( B | A ) viene dada por el teorema de Bayes : 

${\displaystyle {\begin{aligned}P(B\mid A)&={\frac {P(A\mid B)P(B)}{P(A)}}\\\Leftrightarrow {\frac {P(B\mid A)}{P(A\mid B)}}&={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

Es decir, P ( A | B )  ≈ P ( B | A ) solo si P ( B )/ P ( A ) ≈ 1, o equivalentemente, P ( A ) ≈ P ( B ).     

En general, no se puede asumir que P ( A )  ≈ P ( A | B ). Estas probabilidades están vinculadas a través de la ley de la probabilidad total : 

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}).}$

donde los eventos${\displaystyle (B_{n})}$formar una partición contable de${\displaystyle \Omega }$.

This fallacy may arise through selection bias.^[18] For example, in the context of a medical claim, let S_C be the event that a sequela (chronic disease) S occurs as a consequence of circumstance (acute condition) C. Let H be the event that an individual seeks medical help. Suppose that in most cases, C does not cause S (so that P(S_C) is low). Suppose also that medical attention is only sought if S has occurred due to C. From experience of patients, a doctor may therefore erroneously conclude that P(S_C) is high. The actual probability observed by the doctor is P(S_C|H).

Not taking prior probability into account partially or completely is called base rate neglect. The reverse, insufficient adjustment from the prior probability is conservatism.