Punto de inflexión

En cálculo diferencial y geometría diferencial , un punto de inflexión ( o inflexión ) es un punto en una curva plana suave donde la curvatura cambia de signo. En particular , en el caso de la gráfica de una función , es un punto donde la función pasa de ser cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.

Para la gráfica de una función $f$ de clase de diferenciabilidad $C 2$ (su primera derivada $f'$ y su segunda derivada $f''$ existen y son continuas), la condición $f'' = 0$ también se puede usar para encontrar un punto de inflexión ya que se debe pasar por un punto de $f'' = 0$ para cambiar $f''$ de un valor positivo (convexo) a un valor negativo (cóncavo) o viceversa como $f''$ es continua; un punto de inflexión de la curva es donde $f'' = 0$ y cambia su signo en el punto (de positivo a negativo o de negativo a positivo). ^{[ 1 ]} Un punto donde la segunda derivada se anula pero no cambia su signo a veces se llama punto de ondulación o punto de ondulación .

En geometría algebraica, un punto de inflexión se define de forma un poco más general como un punto regular donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 3, y un punto de ondulación o hiperflex se define como un punto donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 4.

Definición

Los puntos de inflexión en geometría diferencial son los puntos de la curva donde la curvatura cambia de signo. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Por ejemplo, la gráfica de una función diferenciable tiene un punto de inflexión en $(x, f (x))$ si y solo si su primera derivada $f'$ tiene un extremo aislado en $x$ . (Esto no es lo mismo que decir que $f$ tiene un extremo). Es decir, en algún entorno, $x$ es el único punto en el que $f'$ tiene un mínimo o un máximo (local). Si todos los extremos de $f'$ son aislados , entonces un punto de inflexión es un punto en la gráfica de $f$ donde la tangente cruza la curva.

Un punto de inflexión descendente es aquel donde la derivada es negativa a ambos lados; es decir, es un punto de inflexión cerca del cual la función es decreciente. Un punto de inflexión ascendente es aquel donde la derivada es positiva a ambos lados; es decir, es un punto de inflexión cerca del cual la función es creciente.

Para una curva suave dada por ecuaciones paramétricas , un punto es un punto de inflexión si su curvatura con signo cambia de positivo a negativo o de negativo a positivo, es decir, cambia de signo .

En una curva suave, que es la gráfica de una función dos veces diferenciable, un punto de inflexión es un punto en la gráfica en el que la segunda derivada tiene un cero aislado y cambia de signo.

En geometría algebraica , un punto no singular de una curva algebraica es un punto de inflexión si y solo si el número de intersección de la recta tangente y la curva (en el punto de tangencia) es mayor que 2. La principal motivación de esta definición diferente es que, de lo contrario, el conjunto de puntos de inflexión de una curva no sería un conjunto algebraico . De hecho, el conjunto de puntos de inflexión de una curva algebraica plana son precisamente sus puntos no singulares que son ceros del determinante hessiano de su completación proyectiva .

Gráfico de $f (x) = sin(2 x)$ desde − $π$ /4 hasta 5 $π$ /4; la segunda derivada es $f ″ (x) = -4sin(2 x)$ , y su signo es, por lo tanto, opuesto al signo de $f$ . La tangente es azul donde la curva es convexa (por encima de su propia tangente ), verde donde es cóncava (por debajo de su tangente) y roja en los puntos de inflexión: 0, $π$ /2 y $π$

Condiciones

Una condición necesaria pero no suficiente

Para una función f , si su segunda derivada $f ″ (x)$ existe en $x 0$ y $x 0$ es un punto de inflexión para $f$ , entonces $f ″ (x 0) = 0$ , pero esta condición no es suficiente para tener un punto de inflexión, incluso si existen derivadas de cualquier orden. En este caso, también se necesita que la derivada no nula de orden más bajo (por encima de la segunda) sea de orden impar (tercera, quinta, etc.). Si la derivada no nula de orden más bajo es de orden par, el punto no es un punto de inflexión, sino un punto de ondulación . Sin embargo, en geometría algebraica, tanto los puntos de inflexión como los puntos de ondulación se denominan habitualmente puntos de inflexión . Un ejemplo de un punto de ondulación es $x = 0$ para la función $f$ dada por $f (x) = x 4$ .

En las afirmaciones anteriores, se supone que $f$ tiene alguna derivada no nula de orden superior en $x$ , lo cual no es necesariamente cierto. Si lo fuera, la condición de que la primera derivada no nula tenga un orden impar implica que el signo de $f' (x)$ es el mismo a ambos lados de $x$ en un entorno de $x$ . Si este signo es positivo , el punto es un punto de inflexión ascendente ; si es negativo , el punto es un punto de inflexión descendente .

Condiciones suficientes

Una condición de existencia suficiente para un punto de inflexión en el caso de que $f (x)$ sea $k$ veces continuamente diferenciable en un cierto entorno de un punto $x 0$ con $k$ impar y $k \geq 3$ , es que $f (n) (x 0) = 0$ para $n = 2, ..., k - 1$ y $f (k) (x 0) \neq 0$ . Entonces $f (x)$ tiene un punto de inflexión en $x 0$ .
Otra condición de existencia suficiente más general requiere que $f ″ (x 0 + ε)$ y $f ″ (x 0 - ε)$ tengan signos opuestos en la vecindad de $x$ $0$ ( Bronshtein y Semendyayev 2004, p. 231).

Categorización de los puntos de inflexión

Los puntos de inflexión también se pueden categorizar según si $f' (x)$ es cero o distinto de cero.

Si $f' (x)$ es cero, el punto es un punto de inflexión estacionario.
Si $f' (x)$ no es cero, el punto es un punto de inflexión no estacionario.

Un punto de inflexión estacionario no es un extremo local . De forma más general, en el contexto de funciones de varias variables reales , un punto estacionario que no es un extremo local se denomina punto de silla .

Un ejemplo de punto de inflexión fijo es el punto $(0, 0)$ $en$ la gráfica de $y = x³$ . La tangente es el eje $x$ , que corta la gráfica en este punto.

Un ejemplo de punto de inflexión no estacionario es el punto $(0, 0)$ en la gráfica de $y = x³ + ax$ , para cualquier $a distinto$ $de$ cero . La tangente en el origen es la recta $y = ax$ , que corta la gráfica en este punto.

Funciones con discontinuidades

Algunas funciones cambian de concavidad sin tener puntos de inflexión. En cambio, pueden cambiar de concavidad alrededor de asíntotas verticales o discontinuidades. Por ejemplo, la función $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ es cóncava para $x$ negativo y convexa para $x$ positivo , pero no tiene puntos de inflexión porque 0 no está en el dominio de la función.

Funciones con puntos de inflexión cuya segunda derivada no se anula.

Algunas funciones continuas tienen un punto de inflexión aunque la segunda derivada nunca sea cero. Por ejemplo, la función raíz cúbica es cóncava hacia arriba cuando x es negativo y cóncava hacia abajo cuando x es positivo, pero no tiene derivadas de ningún orden en el origen.

Véase también

Punto crítico (matemáticas)
Umbral ecológico
Configuración de Hesse formada por los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica.
Ogee , una forma arquitectónica con un punto de inflexión.
Vértice (curva) , un mínimo o máximo local de curvatura.

Referencias

↑ Stewart, James (2015). Cálculo (8.ª ed.). Boston: Cengage Learning. pág. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
↑ Problemas de análisis matemático . Baranenkov, GS Moscú: Editorial Mir. 1976 [1964]. ISBN 5030009434OCLC 21598952 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: otros ( enlace )
↑ Bronshtein; Semendyayev (2004). Manual de Matemáticas (4.ª ed.). Berlín: Springer. pág. 231. ISBN 3-540-43491-7.

Fuentes

Weisstein, Eric W. "Punto de inflexión" . MathWorld .
"Punto de inflexión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Stewart, James (2015). Cálculo (8.ª ed.). Boston: Cengage Learning. pág. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.

[2] Problemas de análisis matemático . Baranenkov, GS Moscú: Editorial Mir. 1976 [1964]. ISBN 5030009434OCLC 21598952 {{cite book}}: CS1 mantenimiento: otros ( enlace )

[3] Bronshtein; Semendyayev (2004). Manual de Matemáticas (4.ª ed.). Berlín: Springer. pág. 231. ISBN 3-540-43491-7.

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