Unduloides

En geometría , un unduloides , u onduloides , es una superficie con curvatura media constante y distinta de cero que se obtiene como superficie de revolución de una catenaria elíptica : es decir, haciendo rodar una elipse a lo largo de una línea fija, trazando el foco y girando la curva resultante alrededor de dicha línea. En 1841, Delaunay demostró que las únicas superficies de revolución con curvatura media constante eran las obtenidas al rotar las ruletas de las cónicas. Estas son el plano, el cilindro, la esfera, el catenoide , el unduloides y el nodoide . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)}$representan la función seno de Jacobi normal y${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)}$Sea la función elíptica de Jacobi normal y dejemos que${\displaystyle \operatorname {F} (z,k)}$representan la integral elíptica normal de primera especie y${\displaystyle \operatorname {E} (z,k)}$representa la integral elíptica normal de segundo tipo. Sea a la longitud del eje mayor de la elipse y e la excentricidad de la elipse. Sea k un valor fijo entre 0 y 1 llamado módulo.

Dadas estas variables,

${\displaystyle \operatorname {x} (u)=-a(1-e)(\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a(1+e)(\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,}$

${\displaystyle \operatorname {y} (u)=a(1+e)\operatorname {dn} (u,k)\,}$

La fórmula para la superficie de revolución que es el unduloide es entonces

${\displaystyle \operatorname {X} (u,v)=\langle \operatorname {x} (u),\operatorname {y} (u)\cos(v),\operatorname {y} (u)\sin(v)\rangle \,}$

Una propiedad interesante del unduloide es que la curvatura media es constante. De hecho, la curvatura media en toda la superficie es siempre el recíproco del doble de la longitud del eje mayor: 1/(2 a ).

Además, las geodésicas en un unduloides obedecen la relación de Clairaut y, por lo tanto, su comportamiento es predecible.

Los unduloides no son un patrón común en la naturaleza. Sin embargo, existen algunas circunstancias en las que se forman. Documentado por primera vez en 1970, al pasar una corriente eléctrica fuerte a través de un alambre de plata delgado (0,16-1,0 mm), montado horizontalmente y estirado en frío (sin templar ) , se forman unduloides a lo largo de su longitud. ^{[ 2 ]} Posteriormente se descubrió que este fenómeno también ocurre en alambre de molibdeno . ^{[ 3 ]} También se han formado unduloides con ferrofluidos . ^{[ 4 ]} Al pasar una corriente axialmente a través de un cilindro recubierto con una película de fluido magnético viscoso, los dipolos magnéticos del fluido interactúan con el campo magnético de la corriente, creando un patrón de gotas a lo largo de la longitud del cilindro.