Ungula

Consideremos un cilindro${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$delimitado inferiormente por un plano${\displaystyle z=0}$y arriba por avión${\displaystyle z=ky}$donde k es la pendiente del tejado inclinado:

${\displaystyle k={h \over r}}$.

Al dividir el volumen en rebanadas paralelas al eje y , entonces una rebanada diferencial, con forma de prisma triangular, tiene volumen

${\displaystyle A(x)\,dx}$

dónde

${\displaystyle A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})}$

es el área de un triángulo rectángulo cuyos vértices son,${\displaystyle (x,0,0)}$,${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$, y${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$y cuya base y altura son por tanto${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$y${\displaystyle k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$, respectivamente. Entonces el volumen de toda la ungula cilíndrica es

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}}$

lo cual es igual a

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$

después de sustituir${\displaystyle rk=h}$.

El área superficial diferencial de la pared lateral curva es

${\displaystyle dA_{s}=kr(\sin \theta )\cdot r\,d\theta =kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta }$,

¿Qué área pertenece a un rectángulo casi plano delimitado por vértices?${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$,${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )}$,${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)}$, y${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))}$y cuyo ancho y alto son por tanto${\displaystyle r\,d\theta }$y (lo suficientemente cerca de)${\displaystyle kr\sin \theta }$, respectivamente. Entonces, el área de la superficie de la pared es

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta =kr^{2}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

donde la integral produce${\displaystyle -[\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-[-1-1]=2}$, de modo que el área de la pared sea

${\displaystyle A_{s}=2kr^{2}}$,

y sustituyendo${\displaystyle rk=h}$rendimientos

${\displaystyle A_{s}=2rh}$.

La base de la ungula cilíndrica tiene una superficie equivalente a la de medio círculo de radio r :${\displaystyle {1 \over 2}\pi r^{2}}$y la parte superior inclinada de dicha ungula es una media elipse con semieje menor de longitud r y semieje mayor de longitud${\displaystyle r{\sqrt {1+k^{2}}}}$, de modo que su área es

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}}$

y sustituyendo${\displaystyle kr=h}$rendimientos

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$. ∎

Nótese cómo se relaciona la superficie de la pared lateral con el volumen: dicha superficie es${\displaystyle 2kr^{2}}$multiplicarlo por${\displaystyle dr}$da el volumen de una semiesfera diferencial , cuya integral es${\displaystyle {2 \over 3}kr^{3}}$, el volumen.

Cuando la pendiente k es igual a 1, entonces dicha ungula es precisamente un octavo de un bicilíndrico , cuyo volumen es${\displaystyle {16 \over 3}r^{3}}$. Una octava parte de esto es${\displaystyle {2 \over 3}r^{3}}$.

Sea un cono descrito por

${\displaystyle 1-{\rho \over r}={z \over H}}$

donde r y H son constantes y z y ρ son variables, con

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad 0\leq \rho \leq r}$

y

${\displaystyle x=\rho \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \theta }$.

Supongamos que el cono es cortado por un plano.

${\displaystyle z=ky=k\rho \sin \theta }$.

Sustituyendo este valor de z en la ecuación del cono y despejando ρ se obtiene:

${\displaystyle \rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}}$

que para un valor dado de θ es la coordenada radial del punto común tanto al plano como al cono que está más alejado del eje del cono a lo largo de un ángulo θ con respecto al eje x . La coordenada de altura cilíndrica de este punto es

${\displaystyle z_{0}=H{\Big (}1-{\rho _{0} \over r}{\Big )}}$.

Así, en la dirección del ángulo θ , una sección transversal de la ungula cónica se ve como un triángulo.

${\displaystyle (0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$.

Al girar este triángulo un ángulo${\displaystyle d\theta }$alrededor del eje z produce otro triángulo con${\displaystyle \theta +d\theta }$,${\displaystyle \rho _{1}}$,${\displaystyle z_{1}}$sustituido por${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle \rho _{0}}$, y${\displaystyle z_{0}}$respectivamente, donde${\displaystyle \rho _{1}}$y${\displaystyle z_{1}}$son funciones de${\displaystyle \theta +d\theta }$en lugar de${\displaystyle \theta }$. Desde${\displaystyle d\theta }$es infinitesimal entonces${\displaystyle \rho _{1}}$y${\displaystyle z_{1}}$también varían infinitesimalmente de${\displaystyle \rho _{0}}$y${\displaystyle z_{0}}$, por lo que, a efectos de considerar el volumen de la pirámide trapezoidal diferencial, pueden considerarse iguales.

La pirámide trapezoidal diferencial tiene una base trapezoidal con una longitud en la base (del cono) de${\displaystyle rd\theta }$, una longitud en la parte superior de${\displaystyle {\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta }$y altitud${\displaystyle {z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$, por lo que el trapecio tiene área

${\displaystyle A_{T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r\,d\theta {(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Una altitud desde la base trapezoidal hasta el punto${\displaystyle (0,0,0)}$tiene longitud diferencialmente cercana a

${\displaystyle {rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}}$.

(Esta es la altura de uno de los triángulos laterales de la pirámide trapezoidal). El volumen de la pirámide es un tercio de su área de base multiplicada por su altura, por lo que el volumen de la ungula cónica es la integral de eso:

${\displaystyle V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta }$

dónde

${\displaystyle y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \theta \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}={1 \over {1 \over r\sin \theta }+{k \over H}}}$

Sustituyendo el lado derecho en la integral y realizando algunas manipulaciones algebraicas, se obtiene la fórmula para el volumen que se debe demostrar.

Para la pared lateral:

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{\pi }{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2H^{2}}\int _{0}^{\pi }(2H-z_{0})y_{0}\,d\theta }$

y la integral del lado derecho se simplifica a${\displaystyle H^{2}rI}$. ∎

Como comprobación de consistencia, considere qué sucede cuando k tiende a infinito; entonces la ungula cónica debería convertirse en un semicono.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )}=0}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \over 3}\pi r^{2}H{\Big )}}$

que es la mitad del volumen de un cono.

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

que es la mitad de la superficie de la pared curva de un cono.

Cuando${\displaystyle k=H/r}$, la "parte superior" (es decir, la cara plana que no es semicircular como la base) tiene una forma parabólica y su área superficial es

${\displaystyle A_{t}={2 \over 3}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$.

Cuando${\displaystyle k<H/r}$entonces la parte superior tiene forma elíptica (es decir, es menor que la mitad de una elipse) y su área superficial es

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt {1+k^{2}}}\Lambda }$

dónde

${\displaystyle x_{max}={\sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}}$,

${\displaystyle y_{1}={1 \over {1 \over r}+{k \over H}}}$,

${\displaystyle y_{m}={kr^{2}H \over k^{2}r^{2}-H^{2}}}$,

${\displaystyle \Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))}$, y

${\displaystyle \lambda ={y_{1} \over y_{1}-y_{m}}}$.

Cuando${\displaystyle k>H/r}$entonces la parte superior es una sección de una hipérbola y su área de superficie es

${\displaystyle A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)}$

dónde

${\displaystyle C={y_{1}+y_{2} \over 2}=y_{m}}$,

${\displaystyle y_{1}}$es como arriba,

${\displaystyle y_{2}={1 \over {k \over H}-{1 \over r}}}$,

${\displaystyle a={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2}}}}}$,

${\displaystyle \Delta ={y_{2}-y_{1} \over 2}}$,

${\displaystyle J={r \over a}B+{\Delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr |}{{r \over a}+B \over {-r \over a}+B}{\Biggr |}}$,

donde el logaritmo es natural y

${\displaystyle B={\sqrt {\Delta ^{2}+{r^{2} \over a^{2}}}}}$.