Teoría unificada de la resistencia

La teoría unificada de resistencia (UST) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} propuesta por Yu Mao-Hong es una serie de criterios de fluencia (véase superficie de fluencia ) y criterios de falla (véase teoría de falla de materiales ). Es una teoría de resistencia clásica generalizada que puede utilizarse para describir la fluencia o falla de un material que comienza cuando la combinación de tensiones principales alcanza un valor crítico. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Matemáticamente, la formulación de UST se expresa en estado de tensión principal como

${\displaystyle F={\sigma _{1}}-{\frac {\alpha }{1+b}}(b{\sigma _{2}}+{\sigma _{3}})={\sigma _{t}},\,{\text{ cuando }}{\sigma _{2}}\leqslant {\frac {{\sigma _{1}}+\alpha {\sigma _{3}}}{1+\alpha }}}$

${\displaystyle F'={\frac {1}{1+b}}({\sigma _{1}}+b{\sigma _{2}})-\alpha {\sigma _{3}}={\sigma _{t}},\,{\text{ cuando }}{\sigma _{2}}\geqslant {\frac {{\sigma _{1}}+\alpha {\sigma _{3}}}{1+\alpha }}}$

dónde${\displaystyle {\sigma _{1}},{\sigma _{2}},{\sigma _{3}}}$son tres tensiones principales,${\displaystyle {\sigma _{t}}}$es la resistencia a la tracción uniaxial y${\displaystyle \alpha }$es la relación de resistencia tensión-compresión (${\displaystyle \alpha ={\sigma _{t}}/{\sigma _{c}}}$). El criterio de rendimiento unificado (UYC) es la simplificación del UST cuando${\displaystyle \alpha =1}$, es decir

${\displaystyle f={\sigma _{1}}-{\frac {1}{1+b}}(b{\sigma _{2}}+{\sigma _{3}})={\sigma _{s}},{\text{ cuando }}{\sigma _{2}}\leqslant {\frac {1}{2}}({\sigma _{1}}+{\sigma _{3}})}$

${\displaystyle f'={\frac {1}{1+b}}({\sigma _{1}}+b{\sigma _{2}})-{\sigma _{3}}={\sigma _{s}},{\text{ cuando }}{\sigma _{2}}\geqslant {\frac {1}{2}}({\sigma _{1}}+{\sigma _{3}})}$

Las superficies límite de la teoría de resistencia unificada en el espacio de tensiones principales suelen ser un cono dodecaédrico semiinfinito con lados desiguales. La forma y el tamaño del cono dodecaédrico límite dependen del parámetro b y${\displaystyle \alpha }$Las superficies límite de UST y UYC se muestran a continuación.

Debido a la relación (${\displaystyle {\tau _{13}}={\tau _{12}}+{\tau _{23}}}$), el estado de estrés principal (${\displaystyle {\sigma _{1}},{\sigma _{2}},{\sigma _{3}}}$) puede convertirse al estado de esfuerzo cortante doble (${\displaystyle {\tau _{13}},{\tau _{12}};{\sigma _{13}},{\sigma _{12}}}$) o (${\displaystyle {\tau _{13}},{\tau _{23}};{\sigma _{13}},{\sigma _{23}}}$). Los modelos de elementos de doble cizallamiento propuestos por Mao-Hong Yu se utilizan para representar el estado de tensión de doble cizallamiento. ^{[ 1 ]} Considerando todos los componentes de tensión de los modelos de doble cizallamiento y sus diferentes efectos se obtiene la teoría de resistencia unificada como

${\displaystyle F={\tau _{13}}+b{\tau _{12}}+\beta ({\sigma _{13}}+b{\sigma _{12}})=C,{\text{ cuando }}{\tau _{12}}+\beta {\sigma _{12}}\geqslant {\tau _{23}}+\beta {\sigma _{23}}}$

${\displaystyle F'={\tau _{13}}+b{\tau _{23}}+\beta ({\sigma _{13}}+b{\sigma _{23}})=C,{\text{ when }}{\tau _{12}}+\beta {\sigma _{12}}\leqslant {\tau _{23}}+\beta {\sigma _{23}}}$

Las relaciones entre los componentes de las tensiones y las tensiones principales se leen

${\displaystyle {\tau _{13}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{1}}-{\sigma _{3}}}\right)}$,${\displaystyle {\sigma _{13}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{1}}+{\sigma _{3}}}\right)}$

${\displaystyle {\tau _{12}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{1}}-{\sigma _{2}}}\right)}$,${\displaystyle {\sigma _{12}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{1}}+{\sigma _{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\tau _{23}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{2}}-{\sigma _{3}}}\right)}$,${\displaystyle {\sigma _{23}}={\frac {1}{2}}\left({{\sigma _{2}}+{\sigma _{3}}}\right)}$

El${\displaystyle \beta }$y C debe obtenerse mediante un estado de falla uniaxial.

${\displaystyle {\sigma _{1}}={\sigma _{t}},{\sigma _{2}}={\sigma _{3}}=0}$

${\displaystyle {\sigma _{1}}={\sigma _{2}}=0,{\sigma _{3}}=-{\sigma _{\text{c}}}}$

Al sustituir las ecuaciones (4a), (4b) y (5a) en la ecuación (3a), y al sustituir las ecuaciones (4a), (4c) y (5b) en la ecuación (3b), se obtiene: ${\displaystyle \beta }$y C se introducen como

${\displaystyle \beta ={\frac {{\sigma _{\text{c}}}-{\sigma _{\text{t}}}}{{\sigma _{\text{c}}}+{\sigma _{\text{t}}}}}={\frac {1-\alpha }{1+\alpha }}}$, ${\displaystyle C={\frac {1+b{\sigma _{\text{c}}}{\sigma _{\text{t}}}}{{\sigma _{\text{c}}}+{\sigma _{\text{t}}}}}={\frac {1+b}{1+\alpha }}{\sigma _{t}}}$

El desarrollo de la teoría unificada de resistencia se puede dividir en tres etapas, como sigue: 1. Criterio de fluencia de doble corte (UST con${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle b=1}$) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle f={\sigma _{1}}-{\frac {1}{2}}({\sigma _{2}}+{\sigma _{3}})={\sigma _{t}},{\text{ when }}{\sigma _{2}}\leqslant {\frac {{\sigma _{1}}+{\sigma _{3}}}{2}}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}({\sigma _{1}}+{\sigma _{2}})-{\sigma _{3}}={\sigma _{t}},{\text{ when }}{\sigma _{2}}\geqslant {\frac {{\sigma _{1}}+{\sigma _{3}}}{2}}}$

2. Teoría de resistencia al corte doble (UST con${\displaystyle b=1}$) ^{[ 10 ]} .

${\displaystyle F={\sigma _{1}}-{\frac {\alpha }{2}}({\sigma _{2}}+{\sigma _{3}})={\sigma _{t}},{\text{ when }}{\sigma _{2}}\leqslant {\frac {{\sigma _{1}}+\alpha {\sigma _{3}}}{1+\alpha }}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}({\sigma _{1}}+{\sigma _{2}}){\text{ - }}\alpha {\sigma _{3}}={\sigma _{t}},{\text{ when }}{\sigma _{2}}\geqslant {\frac {{\sigma _{1}}+\alpha {\sigma _{3}}}{1+\alpha }}}$

3. Teoría de la resistencia unificada ^{[ 1 ]} .

La teoría de resistencia unificada se ha utilizado en plasticidad generalizada, ^{[ 11 ]} plasticidad estructural, ^{[ 12 ]} plasticidad computacional ^{[ 13 ]} y muchos otros campos ^{[ 14 ] [ 15 ].}