Convergencia absoluta uniforme

En matemáticas , la convergencia absoluta uniforme es un tipo de convergencia para series de funciones . Al igual que la convergencia absoluta , tiene la útil propiedad de que se conserva cuando se cambia el orden de la suma.

Una serie convergente de números a menudo puede reordenarse de tal manera que la nueva serie diverja. Sin embargo, esto no es posible para series de números no negativos, por lo que la noción de convergencia absoluta excluye este fenómeno. Al tratar con series de funciones uniformemente convergentes , ocurre el mismo fenómeno: la serie puede reordenarse potencialmente en una serie no uniformemente convergente, o en una serie que ni siquiera converge puntualmente. Esto es imposible para series de funciones no negativas, por lo que la noción de convergencia absoluta uniforme puede utilizarse para descartar estas posibilidades.

Dado un conjunto X y funciones${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} }$(o a cualquier espacio vectorial normado ), la serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

Se dice que es uniformemente absolutamente convergente si la serie de funciones no negativas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

es uniformemente convergente. ^{[ 1 ]}

Una serie puede ser uniformemente convergente y absolutamente convergente sin ser uniformemente absolutamente convergente. Por ejemplo, si ƒ _n ( x ) = x ⁿ / n en el intervalo abierto ( − 1,0), entonces la serie Σ f _n ( x ) converge uniformemente por comparación de las sumas parciales con las de Σ( − 1) ⁿ / n , y la serie Σ| f _n ( x )| converge absolutamente en cada punto por el criterio de la serie geométrica, pero Σ| f _n ( x )| no converge uniformemente. Intuitivamente, esto se debe a que la convergencia absoluta se vuelve cada vez más lenta a medida que x se acerca a − 1, donde la convergencia se cumple pero la convergencia absoluta falla.

Si una serie de funciones converge uniformemente de forma absoluta en algún entorno de cada punto de un espacio topológico , es localmente uniformemente convergente de forma absoluta . Si una serie converge uniformemente de forma absoluta en todos los subconjuntos compactos de un espacio topológico, es compactamente (uniformemente) absolutamente convergente . Si el espacio topológico es localmente compacto , estas nociones son equivalentes.

• Si una serie de funciones en C (o cualquier espacio de Banach ) es uniformemente absolutamente convergente, entonces es uniformemente convergente.
• La convergencia absoluta uniforme es independiente del orden de una serie. Esto se debe a que, para una serie de funciones no negativas, la convergencia uniforme es equivalente a la propiedad de que, para cualquier ε > 0, existen un número finito de términos de la serie tales que, al excluir estos términos, se obtiene una serie con una suma total menor que la función constante ε, y esta propiedad no se refiere al orden.

• Modos de convergencia (índice anotado)