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Principio de acotación uniforme

En matemáticas , el principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional . Junto con el teorema de Hahn-Ba...

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En matemáticas , el principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional . Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la aplicación abierta , se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto operadores acotados ) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador .

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus , pero también fue demostrado de forma independiente por Hans Hahn .

Teorema

Principio de acotación uniforme — Seaincógnita{\displaystyle X}ser un espacio Banach ,Y{\displaystyle Y}un espacio vectorial normado yB(incógnita,Y){\displaystyle B(X,Y)}el espacio de todos los operadores lineales continuos desdeincógnita{\displaystyle X}enY{\displaystyle Y}. Supongamos queF{\displaystyle F}es una colección de operadores lineales continuos deincógnita{\displaystyle X}aY.{\displaystyle Y.}Si, por cadaincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}, sorberT∈F‖T(incógnita)‖Y<∞,{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,} entonces sorberT∈F‖T‖B(incógnita,Y)<∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}

La primera desigualdad (es decir,sorberT∈F‖T(incógnita)‖<∞{\textstyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|<\infty }a pesar deincógnita{\displaystyle x}) afirma que los funcionales enF{\displaystyle F}están acotados puntualmente mientras que el segundo establece que están acotados uniformemente. El segundo supremo siempre es igual a sorberT∈F‖T‖B(incógnita,Y)=sorber‖incógnita‖≤1T∈F‖T(incógnita)‖Y=sorberT∈Fsorber‖incógnita‖≤1‖T(incógnita)‖Y{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F}{\|x\|\leq 1}}\|T(x)\|_{Y}=\sup _{T\in F}\sup _{\|x\|\leq 1}\|T(x)\|_{Y}} y siincógnita{\displaystyle X}no es el espacio vectorial trivial (o si se toma el supremo sobre[0,∞]{\displaystyle [0,\infty ]}en vez de[−∞,∞]{\displaystyle [-\infty ,\infty ]}) entonces la bola unitaria cerrada puede ser reemplazada por la esfera unitaria sorberT∈F‖T‖B(incógnita,Y)=sorber‖incógnita‖=1T∈F,‖T(incógnita)‖Y.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}=\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|=1}}\|T(x)\|_{Y}.}

La integridad del espacio Banachincógnita{\displaystyle X}permite la siguiente demostración breve, utilizando el teorema de la categoría de Baire .

Prueba

Suponerincógnita{\displaystyle X}es un espacio Banach y eso para cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}sorberT∈F‖T(incógnita)‖Y<∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}

Para cada enteronorte∈norte,{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}dejar incógnitanorte={incógnita∈incógnita : sorberT∈F‖T(incógnita)‖Y≤norte}.{\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}

Cada conjuntoincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}es un conjunto cerrado y por la suposición, ⋃norte∈norteincógnitanorte=incógnita≠∅.{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}

Por el teorema de la categoría de Baire para el espacio métrico completo no vacíoincógnita,{\displaystyle X,}existe algometro∈norte{\displaystyle m\in \mathbb {N} }de tal manera que incógnitametro{\displaystyle X_{m}}tiene interior no vacío ; es decir, existenincógnita0∈incógnitametro{\displaystyle x_{0}\in X_{m}}yε>0{\displaystyle \varepsilon >0}de tal manera que Bε(incógnita0)¯ := {incógnita∈incógnita:‖incógnita−incógnita0‖≤ε} ⊆ incógnitametro.{\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}.}

Dejartú∈incógnita{\displaystyle u\in X}con‖tú‖≤1{\displaystyle \|u\|\leq 1}yT∈F.{\displaystyle T\in F.} Entonces: ‖T(tú)‖Y=ε−1‖T(incógnita0+εtú)−T(incógnita0)‖Y[por linealidad de T]≤ε−1(‖T(incógnita0+εtú)‖Y+‖T(incógnita0)‖Y)≤ε−1(metro+metro).[desde  incógnita0+εtú, incógnita0∈incógnitametro]{\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}

Tomar el poder supremotú{\displaystyle u}en la bola unitaria deincógnita{\displaystyle X}y másT∈F{\displaystyle T\in F}resulta que sorberT∈F‖T‖B(incógnita,Y) ≤ 2ε−1metro < ∞.{\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty .}

También existen demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire ( Sokal 2011 ) .

Corolarios

Corolario : Si una secuencia de operadores acotados(Tnorte){\displaystyle \left(T_{n}\right)}converge puntualmente, es decir, el límite de(Tnorte(incógnita)){\displaystyle \left(T_{n}(x)\right)}existe para todosincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}Entonces, estos límites puntuales definen un operador lineal acotado.T.{\displaystyle T.}

El corolario anterior no afirma queTnorte{\displaystyle T_{n}}converge aT{\displaystyle T}en norma de operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que{Tnorte}{\displaystyle \left\{T_{n}\right\}}está acotado en la norma del operador y el operador límiteT{\displaystyle T}es continuo, un estándar "3ε{\displaystyle 3\varepsilon }"La estimación muestra queTnorte{\displaystyle T_{n}}converge aT{\displaystyle T}uniformemente en conjuntos compactos .

Prueba

Esencialmente, es lo mismo que la demostración de que una sucesión convergente puntual de funciones equicontinuas en un conjunto compacto converge a una función continua.

Por el principio de acotación uniforme, seaMETRO=máximo{sorbernorte‖Tnorte‖,‖T‖}{\displaystyle M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,\|T\|\}}sea ​​un límite superior uniforme para las normas de los operadores.

Repara cualquier compactoK⊂incógnita{\displaystyle K\subset X}. Entonces, para cualquierϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}, cubrir finitamente (usar compacidad)K{\displaystyle K}mediante un conjunto finito de bolas abiertas{B(incógnitai,r)}i=1,...,norte{\displaystyle \{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}}de radior=ϵMETRO{\displaystyle r={\frac {\epsilon }{M}}}.

DesdeTnorte→T{\displaystyle T_{n}\to T}punto por punto en cada uno deincógnita1,...,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},...,x_{N}}, para todos los grandesnorte{\displaystyle n},‖Tnorte(incógnitai)−T(incógnitai)‖≤ϵ{\displaystyle \|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon }a pesar dei=1,...,norte{\displaystyle i=1,...,N}.

Luego, por desigualdad triangular, encontramos que para todo grandenorte{\displaystyle n},∀incógnita∈K,‖Tnorte(incógnita)−T(incógnita)‖≤3ϵ{\displaystyle \forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon }.

Corolario — Cualquier subconjunto débilmente acotadoS⊆Y{\displaystyle S\subseteq Y}en un espacio normalizadoY{\displaystyle Y}está delimitado.

De hecho, los elementos deS{\displaystyle S}definir una familia puntualmente acotada de formas lineales continuas en el espacio de Banachincógnita:=Y′,{\displaystyle X:=Y',}que es el espacio dual continuo deY.{\displaystyle Y.} Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos deS,{\displaystyle S,}como funcionales enincógnita,{\displaystyle X,}es decir, normas en el segundo dualY″,{\displaystyle Y'',}están limitados. Pero para cadas∈S,{\displaystyle s\in S,}la norma en el segundo dual coincide con la norma enY,{\displaystyle Y,}por una consecuencia del teorema de Hahn-Banach .

DejarL(incógnita,Y){\displaystyle L(X,Y)}denotemos los operadores continuos deincógnita{\displaystyle X}aY,{\displaystyle Y,}dotado de la norma del operador . Si la colecciónF{\displaystyle F}es ilimitado enL(incógnita,Y),{\displaystyle L(X,Y),}Entonces, el principio de acotación uniforme implica: R={incógnita∈incógnita : sorberT∈F‖Tincógnita‖Y=∞}≠∅.{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .}

De hecho,R{\displaystyle R}es denso enincógnita.{\displaystyle X.}El complemento deR{\displaystyle R}enincógnita{\displaystyle X}es la unión numerable de conjuntos cerrados⋃incógnitanorte.{\textstyle \bigcup X_{n}.} Por el argumento utilizado para demostrar el teorema, cadaincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}no es denso en ninguna parte , es decir, el subconjunto⋃incógnitanorte{\textstyle \bigcup X_{n}}es de primera categoría . Por lo tantoR{\displaystyle R}es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, tales conjuntos (llamados conjuntos comeagre o residuales ) son densos. Este razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades , que puede formularse de la siguiente manera:

Teorema — Seaincógnita{\displaystyle X}ser un espacio Banach,(Ynorte){\displaystyle \left(Y_{n}\right)}una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cadanorte,{\displaystyle n,}dejarFnorte{\displaystyle F_{n}}una familia sin límites enL(incógnita,Ynorte).{\displaystyle L\left(X,Y_{n}\right).}Luego el conjunto R:={incógnita∈incógnita :  a pesar de norte∈norte,sorberT∈Fnorte‖Tincógnita‖Ynorte=∞}{\displaystyle R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}} es un conjunto residual y, por lo tanto, denso enincógnita.{\displaystyle X.}

Prueba

El complemento deR{\displaystyle R}es la unión contable ⋃norte,metro{incógnita∈incógnita : sorberT∈Fnorte‖Tincógnita‖Ynorte≤metro}{\displaystyle \bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}} de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residualR{\displaystyle R}es denso.

Ejemplo: convergencia puntual de series de Fourier

DejarT{\displaystyle \mathbb {T} }sea ​​el círculo , y dejemos quedo(T){\displaystyle C(\mathbb {T} )}sea ​​el espacio de Banach de funciones continuas enT,{\displaystyle \mathbb {T} ,}con la norma uniforme . Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento endo(T){\displaystyle C(\mathbb {T} )}para las cuales la serie de Fourier no converge puntualmente.

ParaF∈do(T),{\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),}Su serie de Fourier se define por ∑k∈ZF^(k)miikincógnita=∑k∈Z12π(∫02πF(t)mi−iktdt)miikincógnita,{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},} y la N -ésima suma parcial simétrica es Snorte(F)(incógnita)=∑k=−nortenorteF^(k)miikincógnita=12π∫02πF(t)Dnorte(incógnita−t)dt,{\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,} dóndeDnorte{\displaystyle D_{N}}es elnorte{\displaystyle N}-núcleo de Dirichlet . Correcciónincógnita∈T{\displaystyle x\in \mathbb {T} }y considerar la convergencia de{Snorte(F)(incógnita)}.{\displaystyle \left\{S_{N}(f)(x)\right\}.} El funcionalφnorte,incógnita:do(T)→do{\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C} }definido por φnorte,incógnita(F)=Snorte(F)(incógnita),F∈do(T),{\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),} está acotado. La norma deφnorte,incógnita,{\displaystyle \varphi _{N,x},}en el dual dedo(T),{\displaystyle C(\mathbb {T} ),}es la norma de la medida con signo(2(2π)−1Dnorte(incógnita−t)dt,{\displaystyle (2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,}a saber ‖φnorte,incógnita‖=12π∫02π|Dnorte(incógnita−t)|dt=12π∫02π|Dnorte(s)|ds=‖Dnorte‖L1(T).{\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}

Se puede verificar que 12π∫02π|Dnorte(t)|dt≥12π∫02π|pecado⁡((norte+12)t)|t/2dt→∞.{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}

Así que la colección(φnorte,incógnita){\displaystyle \left(\varphi _{N,x}\right)}es ilimitado endo(T)∗,{\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast },}el dual dedo(T).{\displaystyle C(\mathbb {T} ).} Por lo tanto, por el principio de acotación uniforme, para cualquierincógnita∈T,{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge enincógnita{\displaystyle x}es denso endo(T).{\displaystyle C(\mathbb {T} ).}

Se puede llegar a más conclusiones aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea(incógnitametro){\displaystyle \left(x_{m}\right)}ser una secuencia densa enT.{\displaystyle \mathbb {T} .} Definirφnorte,incógnitametro{\displaystyle \varphi _{N,x_{m}}}de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cadaincógnitametro{\displaystyle x_{m}} es denso endo(T){\displaystyle C(\mathbb {T} )}(sin embargo, la serie de Fourier de una función continuaF{\displaystyle f}converge aF(incógnita){\displaystyle f(x)}para casi todosincógnita∈T,{\displaystyle x\in \mathbb {T} ,}por el teorema de Carleson ).

Generalizaciones

En un espacio vectorial topológico (TVS)incógnita,{\displaystyle X,}"Subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann . Siincógnita{\displaystyle X}también resulta ser un espacio normado o seminormado , digamos con (semi)norma‖⋅‖,{\displaystyle \|\cdot \|,}entonces un subconjuntoB{\displaystyle B}es (von Neumann) acotada si y solo si es acotada en norma , lo que por definición significasorberb∈B‖b‖<∞.{\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}

espacios en forma de barril

Los intentos de encontrar clases de espacios vectoriales topológicos localmente convexos en los que se cumple el principio de acotación uniforme finalmente llevaron a los espacios barril . Es decir, el entorno menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barril, donde se cumple la siguiente versión generalizada del teorema ( Bourbaki 1987 , Teorema III.2.1) :

Teorema — Dado un espacio en forma de barrilincógnita{\displaystyle X}y un espacio localmente convexoY,{\displaystyle Y,}entonces cualquier familia de aplicaciones lineales continuas puntualmente acotadas deincógnita{\displaystyle X}aY{\displaystyle Y}es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua ).

Alternativamente, la afirmación también es válida siempre queincógnita{\displaystyle X}es un espacio Baire yY{\displaystyle Y}es un espacio localmente convexo. [ 1 ]

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

Una familiaB{\displaystyle {\mathcal {B}}}subconjuntos de un espacio vectorial topológicoY{\displaystyle Y}Se dice que está uniformemente delimitado enY,{\displaystyle Y,}si existe algún subconjunto acotadoD{\displaystyle D}deY{\displaystyle Y}de tal manera que B⊆D por cada B∈B,{\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},} lo cual sucede si y solo si ⋃B∈BB{\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B} es un subconjunto acotado deY{\displaystyle Y}; siY{\displaystyle Y}es un espacio normado entonces esto sucede si y solo si existe algún realMETRO≥0{\displaystyle M\geq 0}de tal manera quesorberB∈Bb∈B‖b‖≤METRO.{\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.} En particular, siH{\displaystyle H}es una familia de mapas deincógnita{\displaystyle X}aY{\displaystyle Y}y sido⊆incógnita{\displaystyle C\subseteq X}entonces la familia{h(do):h∈H}{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}está uniformemente acotado enY{\displaystyle Y}si y solo si existe algún subconjunto acotadoD{\displaystyle D}deY{\displaystyle Y}de tal manera queh(do)⊆D a pesar de h∈H,{\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}lo cual sucede si y solo siH(do):=⋃h∈Hh(do){\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.}

Proposición [ 2 ] — SeaH⊆L(incógnita,Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}sea ​​un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}y dejardo⊆incógnita{\displaystyle C\subseteq X}sea ​​cualquier subconjunto acotado deincógnita.{\displaystyle X.} Luego, la familia de conjuntos{h(do):h∈H}{\displaystyle \{h(C):h\in H\}}está uniformemente acotado enY{\displaystyle Y}si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. H{\displaystyle H}es equicontinua.
  2. do{\displaystyle C}es un subespacio compacto convexo de Hausdorff deincógnita{\displaystyle X}y por cadado∈do,{\displaystyle c\in C,}la órbitaH(do):={h(do):h∈H}{\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.}

Generalizaciones que involucran subconjuntos no escasos

Aunque la noción de un conjunto no escaso se utiliza en la siguiente versión del principio de acotación uniforme, el dominioincógnita{\displaystyle X}no se asume que sea un espacio de Baire .

Teorema [ 2 ] — SeaH⊆L(incógnita,Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}sea ​​un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}(no necesariamente Hausdorff o localmente convexa). Para cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}denota la órbita deincógnita{\displaystyle x}por H(incógnita):={h(incógnita):h∈H}{\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} y dejarB{\displaystyle B}denota el conjunto de todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}cuya órbitaH(incógnita){\displaystyle H(x)}es un subconjunto acotado deY.{\displaystyle Y.} SiB{\displaystyle B}es de la segunda categoría (es decir, no escaso) enincógnita{\displaystyle X}entoncesB=incógnita{\displaystyle B=X}yH{\displaystyle H}es equicontinua.

Todo subespacio vectorial propio de un TVSincógnita{\displaystyle X}tiene un interior vacío enincógnita.{\displaystyle X.}[ 3 ] Así pues, en particular, todo subespacio vectorial propio que es cerrado no es denso en ningún lugar.incógnita{\displaystyle X}y por lo tanto de la primera categoría (escaso) enincógnita{\displaystyle X}(y lo mismo es cierto para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un TVSincógnita{\displaystyle X}que es de la segunda categoría (no escaso) enincógnita{\displaystyle X}debe ser un subconjunto denso deincógnita{\displaystyle X}(ya que de otro modo su cierre enincógnita{\displaystyle X}sería un subespacio vectorial propio cerrado deincógnita{\displaystyle X}y por lo tanto de la primera categoría). [ 3 ]

Prueba [ 2 ]

Prueba de queH{\displaystyle H}es equicontinua:

DejarW,V⊆Y{\displaystyle W,V\subseteq Y}ser vecindarios equilibrados del origen enY{\displaystyle Y}satisfactorioV¯+V¯⊆W.{\displaystyle {\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W.}Debe demostrarse que existe un vecindario.norte⊆incógnita{\displaystyle N\subseteq X}del origen enincógnita{\displaystyle X}de tal manera queh(norte)⊆W{\displaystyle h(N)\subseteq W}por cadah∈H.{\displaystyle h\in H.} Dejar do := ⋂h∈Hh−1(V¯),{\displaystyle C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right),} que es un subconjunto cerrado deincógnita{\displaystyle X}(porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cadah∈H,{\displaystyle h\in H,}también satisfaceh(do)⊆V¯{\displaystyle h(C)\subseteq {\overline {V}}}y h(do−do) = h(do)−h(do) ⊆ V¯−V¯ = V¯+V¯ ⊆ W{\displaystyle h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W} (como se mostrará, el conjuntodo−do{\displaystyle C-C}es de hecho un barrio del origen enincógnita{\displaystyle X}porque el interior topológico dedo{\displaystyle C}enincógnita{\displaystyle X}no está vacío). Sib∈B{\displaystyle b\in B}entoncesH(b){\displaystyle H(b)}estando limitado enY{\displaystyle Y}implica que existe algún número enteronorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }de tal manera queH(b)⊆norteV{\displaystyle H(b)\subseteq nV}entonces sih∈H,{\displaystyle h\in H,}entoncesb ∈ h−1(norteV) = norteh−1(V).{\displaystyle b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).} Desdeh∈H{\displaystyle h\in H}fue arbitrario, b ∈ ⋂h∈Hnorteh−1(V) = norte⋂h∈Hh−1(V) ⊆ nortedo.{\displaystyle b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.} Esto demuestra que B ⊆ ⋃norte∈nortenortedo.{\displaystyle B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.} PorqueB{\displaystyle B}es de la segunda categoría enincógnita,{\displaystyle X,}Lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos.nortedo{\displaystyle nC}para algunosnorte∈norte.{\displaystyle n\in \mathbb {N} .} El mapaincógnita→incógnita{\displaystyle X\to X}definido porincógnita↦1norteincógnita{\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}es un homeomorfismo ( sobreyectivo ) , por lo que el conjunto1norte(nortedo)=do{\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}es necesariamente de la segunda categoría enincógnita.{\displaystyle X.} Porquedo{\displaystyle C}está cerrado y de la segunda categoría enincógnita,{\displaystyle X,}su interior topológico enincógnita{\displaystyle X}no está vacío. Recogerdo∈Intincógnita⁡do.{\displaystyle c\in \operatorname {Int} _{X}C.} Porque el mapaincógnita→incógnita{\displaystyle X\to X}definido porincógnita↦do−incógnita{\displaystyle x\mapsto c-x}es un homeomorfismo, el conjunto norte := do−Intincógnita⁡do = Intincógnita⁡(do−do){\displaystyle N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)} es un barrio de0=do−do{\displaystyle 0=c-c}enincógnita,{\displaystyle X,}lo que implica que lo mismo es cierto para su superconjuntodo−do.{\displaystyle C-C.} Y así para cadah∈H,{\displaystyle h\in H,}h(norte) ⊆ h(do−do) = h(do)−h(do) ⊆ V¯−V¯ ⊆ W.{\displaystyle h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.} Esto demuestra queH{\displaystyle H}es equicontinuo. QED

Prueba de queB=incógnita{\displaystyle B=X}:

PorqueH{\displaystyle H}es equicontinua, siS⊆incógnita{\displaystyle S\subseteq X}está delimitado enincógnita{\displaystyle X}entoncesH(S){\displaystyle H(S)}está uniformemente acotado enY.{\displaystyle Y.} En particular, para cualquierincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}porqueS:={incógnita}{\displaystyle S:=\{x\}}es un subconjunto acotado deincógnita,{\displaystyle X,}H({incógnita})=H(incógnita){\displaystyle H(\{x\})=H(x)}es un subconjunto uniformemente acotado deY.{\displaystyle Y.}De este modoB=incógnita.{\displaystyle B=X.} QED

Secuencias de mapas lineales continuos

El siguiente teorema establece las condiciones para que el límite puntual de una sucesión de aplicaciones lineales continuas sea también continuo.

Teorema [ 4 ] — Supongamos queh1,h2,…{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicosincógnita{\displaystyle X}yY.{\displaystyle Y.}

  1. Si el conjuntodo{\displaystyle C}de todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}para quéh1(incógnita),h2(incógnita),…{\displaystyle h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots }es una secuencia de Cauchy enY{\displaystyle Y}es de la segunda categoría enincógnita,{\displaystyle X,}entoncesdo=incógnita.{\displaystyle C=X.}
  2. Si el conjuntoL{\displaystyle L}de todosincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}en el cual el límiteh(incógnita):=límitenorte→∞hnorte(incógnita){\displaystyle h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)}existe enY{\displaystyle Y}es de la segunda categoría enincógnita{\displaystyle X}y siY{\displaystyle Y}es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F ), entoncesL=incógnita{\displaystyle L=X}yh:incógnita→Y{\displaystyle h:X\to Y}es una aplicación lineal continua.

Teorema [ 3 ] — Sih1,h2,…{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots }es una secuencia de aplicaciones lineales continuas de un espacio Fincógnita{\displaystyle X}en un espacio vectorial topológico de HausdorffY{\displaystyle Y}de tal manera que para cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}el límite h(incógnita) := límitenorte→∞hnorte(incógnita){\displaystyle h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)} existe enY,{\displaystyle Y,}entoncesh:incógnita→Y{\displaystyle h:X\to Y}es un mapa lineal continuo y los mapash,h1,h2,…{\displaystyle h,h_{1},h_{2},\ldots }son equicontinuas.

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio normado , entonces‖h‖≤límite inferiornorte→∞‖hnorte‖<∞.{\displaystyle \|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .}

Dominio métrico completo

Dieudonné (1970) demuestra una forma más débil de este teorema con espacios de Fréchet en lugar de los espacios de Banach habituales.

Teorema [ 2 ] — SeaH⊆L(incógnita,Y){\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}sea ​​un conjunto de operadores lineales continuos de un espacio vectorial topológico metrizable completoincógnita{\displaystyle X}(como un espacio de Fréchet o un espacio F ) en un espacio vectorial topológico de HausdorffY.{\displaystyle Y.} Si por cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}la órbitaH(incógnita):={h(incógnita):h∈H}{\displaystyle H(x):=\{h(x):h\in H\}} es un subconjunto acotado deY{\displaystyle Y}entoncesH{\displaystyle H}es equicontinua.

Entonces, en particular, siY{\displaystyle Y}también es un espacio normalizado y si sorberh∈H‖h(incógnita)‖<∞ por cada incógnita∈incógnita,{\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ for every }}x\in X,} entoncesH{\displaystyle H}es equicontinua.

Véase también

Notas

Citas

Bibliografía

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