Azulejos uniformes

En geometría , un teselado uniforme es una teselación del plano mediante caras de polígonos regulares con la restricción de ser transitivo en los vértices .

Los recubrimientos uniformes pueden existir tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Los recubrimientos uniformes están relacionados con los poliedros uniformes finitos ; estos pueden considerarse recubrimientos uniformes de la esfera .

La mayoría de los recubrimientos uniformes se pueden construir a partir de una construcción de Wythoff que parte de un grupo de simetría y un punto generador singular dentro del dominio fundamental . Un grupo de simetría planar tiene un dominio fundamental poligonal y se puede representar mediante su notación de grupo: la secuencia de órdenes de reflexión de los vértices del dominio fundamental.

Un triángulo de dominio fundamental se denota ( pqr ), donde p , q , r son números enteros > 1, es decir ≥ 2; un triángulo rectángulo de dominio fundamental se denota ( pq2 ). El triángulo puede existir como un triángulo esférico , un triángulo plano euclidiano o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores de p , q y r .

Existen varios sistemas simbólicos para representar estas cifras:

• El símbolo de Schläfli modificado para un dominio de triángulo rectángulo: ( pq 2) → { p , q }.
• El diagrama de Coxeter-Dynkin es un grafo triangular con p , q y r etiquetados en sus aristas. Si r = 2, el grafo es lineal, ya que los nodos del diagrama con conectividad 2 no están conectados entre sí por una rama del diagrama (dado que los espejos de dominio que se encuentran a 90 grados no generan nuevos espejos).
• El símbolo de Wythoff toma los tres números enteros y los separa con una barra vertical (|). Si el punto generador no es el opuesto simétrico a un vértice del dominio, entonces el orden de reflexión de dicho vértice se indica antes de la barra.
• Finalmente, un teselado uniforme se puede describir mediante su configuración de vértices : la secuencia (idéntica) de polígonos alrededor de cada vértice (equivalente).

Todos los teselados uniformes pueden construirse a partir de diversas operaciones aplicadas a teselados regulares . Estas operaciones, denominadas por Norman Johnson , se conocen como truncamiento (corte de vértices), rectificación (corte de vértices hasta que desaparecen las aristas) y cantelación (corte de aristas y vértices). El omnitruncamiento es una operación que combina truncamiento y cantelación. El snubbing es una operación de truncamiento alterno de la forma omnitruncada. (Véase Poliedro uniforme#Operadores de construcción de Wythoff para más detalles).

Los grupos de Coxeter para el plano definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :

Para grupos con órdenes de reflexión enteros, incluyendo:

En el plano euclidiano existen grupos de simetría formados por triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.

Estos grupos de simetría crean 3 teselaciones regulares y 7 semirregulares. Varias de las teselaciones semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.

Un grupo de simetría prismática, (2 2 2 2), está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden formar un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos recubrimientos.

Otro grupo de simetría prismática, (∞ 2 2), tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos teselaciones uniformes: el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal .

La superposición de las caras finitas de estos dos recubrimientos prismáticos da lugar a un recubrimiento uniforme no wythoffiano del plano. Se denomina recubrimiento triangular alargado y está compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.

Triángulos fundamentales rectángulos: ( pq2 )

Triángulos fundamentales generales: ( pqr )

Dominios fundamentales no simples

El único dominio fundamental posible en el espacio euclidiano 2-dimensional que no es un simplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con diagrama de Coxeter : . Todas las formas generadas a partir de él se convierten en un teselado cuadrado .

Hay infinitos recubrimientos uniformes mediante polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada uno basado en un grupo de simetría reflectiva diferente ( pqr ).

Aquí se muestra un ejemplo con una proyección del disco de Poincaré .

El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.

Existen otros grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros —que comienzan con (2 2 2 3), etc.— que pueden generar nuevas formas. Asimismo, existen dominios fundamentales cuyos vértices se ubican en el infinito, como (∞ 2 3), etc.

Triángulos fundamentales rectángulos: ( pq2 )

Triángulos fundamentales generales: ( pqr )

Existen varias maneras de ampliar la lista de teselaciones uniformes:

1. Las figuras de vértice pueden tener caras retrógradas y girar alrededor del vértice más de una vez.
2. Se pueden incluir teselas poligonales en forma de estrella .
3. Los apeirogones , {∞}, se pueden utilizar como caras de teselado.
4. También se pueden utilizar zigzags (apierogones que alternan entre dos ángulos).
5. La restricción de que las teselas se unan borde con borde puede flexibilizarse, permitiendo teselaciones adicionales como el teselado pitagórico .

Los triángulos del grupo de simetría con retrógrados incluyen:

(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).

Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen:

(4 4/3 ∞), (3/2 3 ∞), (6 6/5 ∞).

Branko Grünbaum y GC Shephard , en el libro de 1987 Tilings and patterns , sección 12.3, enumeran una lista de 25 teselaciones uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y añaden 14 más que denominan teselaciones huecas , utilizando las dos primeras expansiones mencionadas anteriormente: caras de polígonos estrellados y figuras de vértices generalizadas. ^{[ 1 ]}

HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins y JCP Miller , en el artículo de 1954 «Polyedros uniformes», Tabla 8: Teselaciones uniformes , utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 teselaciones uniformes. Si se incluye también una teselación formada por 2 apeirogones, el total puede considerarse de 39 teselaciones uniformes.

En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard, en su artículo Uniform Tilings with Hollow Tiles , enumeran 25 teselaciones utilizando las dos primeras expansiones y 28 más al añadir la tercera (lo que da un total de 53 según la definición de Coxeter et al .). Al añadir la cuarta, enumeran 23 teselaciones uniformes adicionales y 10 familias (8 que dependen de parámetros continuos y 2 de parámetros discretos). ^{[ 2 ]}

Además de las 11 soluciones convexas, a continuación se muestran los 28 teselados estelares uniformes enumerados por Coxeter et al. , agrupados por grafos de aristas compartidas, seguidos de otros 15 enumerados por Grünbaum et al. que cumplen la definición de Coxeter et al . pero que ellos no incluyeron.

Este conjunto no está demostrado completo. Por "2,25" se entiende el recubrimiento de 25 en la tabla 2 de Grünbaum et al . de 1981.

Los siguientes tres teselados son excepcionales porque solo hay un número finito de caras de un mismo tipo: dos apeirogones en cada uno. A veces, el teselado apeirogonal de orden 2 no se incluye, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.

Para mayor claridad, los teselados no se colorean a partir de aquí (debido a las superposiciones). Se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los teselados proporcionados por Coxeter et al . (1954). Los once teselados uniformes convexos se han repetido como referencia.

Hay dos teselaciones uniformes para la configuración de vértices 4.8.−4.8.−4.∞ (Grünbaum et al. , 2.10 y 2.11) y también dos teselaciones uniformes para la configuración de vértices 4.8/3.4.8/3.−4.∞ (Grünbaum et al. , 2.12 y 2.13), con diferentes simetrías. También hay una tercera teselación para cada configuración de vértices que es solo pseudouniforme (los vértices aparecen en dos órbitas de simetría). Utilizan diferentes conjuntos de caras cuadradas. Por lo tanto, para las teselaciones euclidianas estrelladas, la configuración de vértices no determina necesariamente la teselación. ^{[ 2 ]}

En las imágenes a continuación, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. Un solo cuadrado tiene los bordes resaltados. ^{[ 2 ]}

• 
  2.10 y 2.12 (p4m)
• 
  2.11 y 2.13 (p4g)
• 
  Pseudouniforme

Los teselados con zigzags se enumeran a continuación. {∞ ^𝛼 } denota un zigzag con ángulo 0 < 𝛼 < π. El apeirogon puede considerarse el caso especial 𝛼 = π. Las simetrías se dan para el caso genérico, pero a veces hay valores especiales de 𝛼 que aumentan la simetría. Los teselados 3.1 y 3.12 pueden incluso volverse regulares; el 3.32 ya lo es (no tiene parámetros libres). A veces, hay valores especiales de 𝛼 que hacen que el teselado sea degenerado. ^{[ 2 ]}

Los pares de teselaciones 3.17 y 3.18, así como 3.19 y 3.20, tienen configuraciones de vértices idénticas pero simetrías diferentes. ^{[ 2 ]}

Los mosaicos 3.7 a 3.10 tienen la misma disposición de bordes que los mosaicos 2.1 y 2.2; los mosaicos 3.17 a 3.20 tienen la misma disposición de bordes que los mosaicos 2.10 a 2.13; los mosaicos 3.21 a 3.24 tienen la misma disposición de bordes que los mosaicos 2.18 a 2.23; y los mosaicos 3.25 a 3.33 tienen la misma disposición de bordes que el mosaico 1.25 (el mosaico triangular regular). ^{[ 2 ]}

Un teselado también puede ser autodual . El teselado cuadrado, con el símbolo de Schläfli {4,4}, es autodual; aquí se muestran dos teselados cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.

Considerar un polígono estrellado regular como un polígono simple isotoxal no convexo con el doble de lados (más cortos) pero alternando los mismos ángulos internos externos e internos permite que los polígonos estrellados regulares se utilicen en un teselado, y considerar los polígonos simples isotoxales como "regulares" permite que los polígonos estrellados regulares (aunque no todos ellos) se utilicen en un teselado "uniforme".

Además, los contornos de ciertos polígonos estrellados isotoxales no regulares son polígonos isotoxales (simples) no convexos con la misma cantidad de lados (más cortos) y alternando los mismos ángulos internos externos e internos; ver este tipo de polígonos estrellados isotoxales como sus contornos permite usarlos en un teselado, y ver los polígonos isotoxales simples como "regulares" permite que este tipo de polígonos estrellados isotoxales (pero no todos ellos) se puedan usar en un teselado "uniforme".

Un 2n - gono isotoxal simple con ángulo interno exterior 𝛼 se denota por { n _𝛼 }; sus vértices exteriores se etiquetan como n ^* _𝛼 , y los interiores como n ^** _𝛼 .

Estas ampliaciones de la definición de teselado requieren que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices, ya que la configuración de vértices para vértices con al menos 3 polígonos es suficiente para definir un teselado "uniforme", y por lo tanto, este último tiene una configuración de vértices (de lo contrario, tendría dos). Hay 4 teselados uniformes con ángulos ajustables 𝛼 y 18 teselados uniformes que solo funcionan con ángulos específicos, lo que da un total de 22 teselados uniformes que utilizan polígonos estrellados. ^{[ 4 ]}

Todos estos recubrimientos, ignorando los posibles vértices de orden 2 y reduciendo las posibles aristas dobles y triples a aristas simples, están relacionados topológicamente con los recubrimientos uniformes ordinarios (utilizando únicamente polígonos regulares convexos).

Los polígonos isotoxales no regulares, ya sean estrellas o polígonos simples de 2 n lados , siempre alternan dos ángulos. Los polígonos isotoxales simples de 2 n lados, { n _𝛼 }, pueden ser convexos ; los más simples son los rombos (polígonos de 2×2 lados), {2 _{𝛼 }. Considerar estos {} n _𝛼 } convexos como polígonos "regulares" permite que más teselaciones se consideren "uniformes".

• Símbolo de Wythoff
• Lista de teselaciones uniformes
• Teselaciones uniformes en el plano hiperbólico
• politopo uniforme

• Norman Johnson, Politopos Uniformes , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966.
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(Teselaciones de estrellas, sección 12.3)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Poliedros uniformes , Phil. Trans. , 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532 (Tabla 8) 

• Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme" . MathWorld .
• Teselaciones uniformes en el plano euclidiano
• Teselaciones del plano
• El mundo de las teselaciones de David Bailey
• k -teselados uniformes
• n -teselados uniformes
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D" .