Anillo de valoración discreto

Dejar${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(2)}}$ser la localización de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en el ideal generado por 2. Formalmente,

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ es impar}}\}.}$

El campo de fracciones de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(2)}}$es${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Para cualquier elemento distinto de cero${\displaystyle r}$de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, podemos aplicar factorización única al numerador y denominador de${\displaystyle r}$escribir${\displaystyle r}$como${\displaystyle {\tfrac {2^{k}z}{n}}}$dónde${\displaystyle z}$,${\displaystyle n}$, y${\displaystyle k}$son números enteros con${\displaystyle z}$y${\displaystyle n}$extraño. En este caso, definimos${\displaystyle \nu (r)=k}$.

Entonces${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(2)}}$es el anillo de valoración discreta correspondiente a${\displaystyle \nu }$. El ideal máximo de${\displaystyle \mathbb {Z} _ {(2)}}$es el ideal principal generado por 2; es decir,${\displaystyle 2\mathbb {Z} _ {(2)}}$y el elemento irreducible "único" (salvo unidades) es 2 (también conocido como parámetro de uniformización).

De manera más general, cualquier localización de un dominio de Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valuación discreta; en la práctica, así es como surgen frecuentemente los anillos de valuación discreta. En particular, podemos definir anillos

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\{z/n:z,n\in \mathbb {Z} ,\,p\nmid n\}}$

para cualquier primo${\displaystyle p}$en completa analogía.

El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$de enteros p -ádicos es un DVR, para cualquier primo${\displaystyle p}$. Aquí${\displaystyle p}$es un elemento irreducible ; la valoración asigna a cada${\displaystyle p}$entero -ádico${\displaystyle x}$el entero más grande${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle p^{k}}$divide${\displaystyle x}$.

Otro ejemplo importante de DVR es el anillo de series de potencias formales.${\displaystyle R=k[[T]]}$en una variable${\displaystyle T}$sobre algún campo${\displaystyle k}$. El elemento irreducible "único" es${\displaystyle T}$, el ideal máximo de${\displaystyle R}$es el ideal principal generado por${\displaystyle T}$y la valoración${\displaystyle \nu }$asigna a cada serie de potencias el índice (es decir, el grado) del primer coeficiente distinto de cero.

Si nos restringimos a coeficientes reales o complejos , podemos considerar el anillo de series de potencias en una variable que convergen en un entorno de 0 (dependiendo dicho entorno de la serie de potencias). Este es un anillo de valoración discreta. Esto resulta útil para desarrollar la intuición sobre el criterio de valuación de propiedad .

Para un ejemplo de naturaleza más geométrica, tomemos el anillo.

${\displaystyle R=\{f/g:f,g\in \mathbb {R} [x],\,g(0)\neq 0\},}$

considerado como un subanillo del campo de funciones racionales${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$.${\displaystyle R}$se puede identificar con el anillo de todas las funciones racionales de valor real definidas (es decir, finitas) en un entorno de 0 en el eje real (con el entorno dependiendo de la función). Es un anillo de valuación discreta; el elemento irreducible "único" es${\displaystyle x}$y la valoración se asigna a cada función${\displaystyle f}$el orden (posiblemente 0) del cero de${\displaystyle f}$en 0. Este ejemplo proporciona la plantilla para estudiar curvas algebraicas generales cerca de puntos no singulares , siendo la curva algebraica en este caso la recta real.

Para un DVR${\displaystyle R}$Es común escribir el campo de fracción como${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$y${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$el campo residual . Estos corresponden a los puntos genéricos y cerrados de${\displaystyle S={\text{Especificación}}(R).}$Por ejemplo, el punto cerrado de${\displaystyle {\text{Especificación}}(\mathbb {Z} _{p})}$es${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$y el punto genérico es${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$A veces esto se denota como

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

dónde${\displaystyle \eta }$es el punto genérico y${\displaystyle s}$es el punto cerrado .

Dada una curva algebraica${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$en un punto liso (cerrado)${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es un anillo de valoración discreto, porque es un anillo de valoración principal. Nótese que el punto${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es suave, la finalización del anillo local es isomorfa a la finalización de la localización de${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$en algún momento${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

Para cualquier variedad no singular, se puede considerar de manera similar el anillo local en un punto de codimensión uno. De forma más general, en un esquema normal (localmente) noetheriano , el anillo local en el punto genérico de un divisor de Weil primo es un anillo de valuación discreta, donde la valuación discreta proporciona el orden de anulación de una función regular a lo largo del divisor. ^{[ 2 ]}