Secuencia de Cauchy uniforme

En matemáticas , una secuencia de funciones${\displaystyle \{f_{n}\}}$Se dice que una transformación de un conjunto S a un espacio métrico M es uniformemente Cauchy ^{[ 1 ]} si:

• A pesar de${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe${\displaystyle N>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle x\in S}$:${\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }$cuando sea${\displaystyle m,n>N}$.

Otra forma de decir esto es que${\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0}$como${\displaystyle m,n\to \infty }$donde la distancia uniforme${\displaystyle d_{u}}$entre dos funciones se define por

${\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}$

Una sucesión de funciones { f _n } de S a M es puntualmente Cauchy si, para cada x ∈ S , la sucesión { f _n ( x )} es una sucesión de Cauchy en M . Esta es una condición más débil que ser uniformemente Cauchy.

En general, una sucesión puede ser puntualmente Cauchy pero no convergente puntualmente, o uniformemente Cauchy pero no convergente uniformemente. Sin embargo, si el espacio métrico M es completo , entonces cualquier sucesión puntualmente Cauchy converge puntualmente a una función de S a M. De manera similar, cualquier sucesión uniformemente Cauchy tenderá uniformemente a dicha función.

La propiedad uniforme de Cauchy se usa frecuentemente cuando S no es solo un conjunto, sino un espacio topológico , y M es un espacio métrico completo. Se cumple el siguiente teorema:

• Sea S un espacio topológico y M un espacio métrico completo. Entonces, cualquier sucesión uniformemente Cauchy de funciones continuas f _n  : S → M tiende uniformemente a una única función continua f  : S → M .

Una secuencia de funciones${\displaystyle \{f_{n}\}}$Se dice que una transformación de un conjunto S a un espacio uniforme U es uniformemente Cauchy si:

• Para cualquier séquito E de U , existe${\displaystyle N>0}$de tal manera que, para todos${\displaystyle x\in S}$,${\displaystyle (f_{n}(x),f_{m}(x))\in E}$cuando sea${\displaystyle m,n>N}$.

• Modos de convergencia (índice anotado)