Representación uniformemente acotada

La serie complementaria de representaciones unitarias irreducibles de SL(2,R) fue introducida por Bargmann (1947) . Estas representaciones pueden realizarse en funciones sobre el círculo o sobre la recta real : la transformada de Cayley proporciona la equivalencia unitaria entre ambas realizaciones. ^{[ 1 ]}

De hecho, para 0 < σ < 1/2 y funciones continuas f y g en el círculo se definen

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){\overline {g(t)}}k_{\sigma }(st)\,ds\,dt,}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {k_{\sigma }(s)=(1-\cos s)^{\sigma -1/2}.}}$

Dado que la función k _σ es integrable, esta integral converge. De hecho

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }\leq \|f\|\cdot \|g\|,}}$

donde las normas son las normas L2 ^habituales .

Las funciones

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}(t)=e^{imt}}}$

son ortogonales con

${\displaystyle \displaystyle {(f_{m},f_{m})_{\sigma }=\prod _{i=1}^{|m|}{i-1/2-\sigma \over i-1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+1/2+\sigma )}.}}$

Dado que estas cantidades son positivas, ( f , g ) _σ define un producto interno. La completación del espacio de Hilbert se denota por H _σ .

Para F y G funciones continuas de soporte compacto en R , definimos

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(x){\overline {G(y)}}|xy|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}}$

Dado que, consideradas como distribuciones, la transformada de Fourier de | x | ^{2σ – 1} es C _σ | t | ^−2σ para alguna constante positiva C _σ , la expresión anterior puede reescribirse:

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=C_{\sigma }\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {F}}(t){\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma }\,dt.}}$

Por lo tanto, es un producto interno. Sea H' _σ su completación en el espacio de Hilbert.

La transformada de Cayley da lugar a un operador U :

${\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=2^{\sigma /2-3/4}\pi ^{-1}|x+i|^{1-2\sigma }f\left({x-i \over x+i}\right).}}$

U se extiende a una isometría de H _σ sobre H ' _σ . Su adjunto viene dado por

${\displaystyle \displaystyle {U^{*}F(e^{it})=2^{3/4-\sigma /2}\pi |1-e^{it}|^{1-2\sigma }F\left({1+e^{it} \over 1-e^{it}}\right).}}$

La transformación de Cayley intercambia las acciones mediante transformaciones de Möbius de SU(1,1) en S ¹ y de SL(2, R ) en R .

El operador U entrelaza las acciones correspondientes de SU(1,1) sobre H _σ y SL(2, R ) sobre H ' _σ .

Para g en SU(1,1) dado por

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1,}}$

y f continuo, conjunto

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2\sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

Para g' en SL(2, R ) dado por

${\displaystyle \displaystyle {g^{\prime }={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}}$

con ad – bc = 1, establecer

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2\sigma }F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

Si g ' corresponde a g bajo la transformación de Cayley, entonces

${\displaystyle \displaystyle {U\pi _{\sigma }(g)U^{*}=\pi _{\sigma }^{\prime }(g^{\prime }).}}$

La descomposición polar muestra que SL(2,R) = KAK con K = SO(2) y A el subgrupo de matrices diagonales positivas. K corresponde a las matrices diagonales en SU(1,1). Dado que evidentemente K actúa unitariamente sobre H _σ y A actúa unitariamente sobre H ' _σ , ambas representaciones son unitarias. Las representaciones son irreducibles porque la acción del álgebra de Lie sobre los vectores base f _m es irreducible. Esta familia de representaciones unitarias irreducibles se llama serie complementaria .

Ehrenpreis y Mautner (1955) construyeron una continuación analítica de esta familia de representaciones de la siguiente manera. ^{[ 2 ]} Si s = σ + iτ, g está en SU(1,1) y f en H _σ , definimos

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2s}f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

De manera similar , si g ' está en SL(2, R ) y F en H'σ , _definimos

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2s}F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

Como antes, la U unitaria entrelaza estas dos acciones. K actúa unitariamente sobre H _σ y A mediante una representación uniformemente acotada sobre H ' _σ . La acción de la base estándar del álgebra de Lie de complejización sobre esta base se puede calcular: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(L_{0})f_{m}=mf_{m},\,\,\pi _{s}(L_{-1})f_{m}=-(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{m-1}.}}$

Si la representación fuera unitarizable para τ ≠ 0, entonces el operador de similitud T en H _σ tendría que conmutar con K , ya que K preserva el producto interno original. Por lo tanto, los vectores Tf _m seguirían siendo ortogonales para el nuevo producto interno y los operadores

${\displaystyle \displaystyle {L_{i}^{\prime }=TL_{i}T^{-1}}}$

satisfaría las mismas relaciones para

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}^{\prime }=Tf_{m}=\lambda _{m}f_{m}.}}$

En este caso

${\displaystyle \displaystyle {[L_{m}^{\prime },L_{n}^{\prime }]=(m-n)L_{m+n}^{\prime },\,\,(L_{i}^{\prime })^{*}=L_{-i}^{\prime }.}}$

Es elemental verificar que infinitesimalmente tal representación no puede existir si τ ≠ 0. ^{[ 4 ]}

En efecto, sea v ₀ = f ' ₀ y establezca

${\displaystyle \displaystyle {v_{1}=L_{-1}^{\prime }v_{0}.}}$

Entonces

${\displaystyle \displaystyle {L_{1}^{\prime }v_{1}=cv_{0}}}$

para alguna constante c . Por otro lado,

${\displaystyle \displaystyle {\|v_{1}\|^{2}=(L_{-1}^{\prime }v_{0},v_{1})=(v_{0},L_{1}^{\prime }v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}}$

Por lo tanto, c debe ser real y positivo. Las fórmulas anteriores muestran que

${\displaystyle \displaystyle {c={1 \over 4}-s^{2}={1 \over 4}-\sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}}$

por lo tanto, la representación π _s es unitarizable solo si τ = 0.

El grupo G = SL(2, R ) contiene el grupo discreto Γ = SL(2, Z ) como un subgrupo cerrado de covolumen finito, ya que este subgrupo actúa sobre el semiplano superior con un dominio fundamental de área hiperbólica finita. ^{[ 5 ]} El grupo SL(2, Z ) contiene un subgrupo de índice 12 isomorfo a F ₂ el grupo libre en dos generadores. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, G tiene un subgrupo Γ ₁ de covolumen finito, isomorfo a F ₂ . Si L es un subgrupo cerrado de covolumen finito en un grupo localmente compacto G , y π es una representación uniformemente acotada no unitarizable de G en un espacio de Hilbert L , entonces su restricción a L es uniformemente acotada y no unitarizable. Porque si no, aplicando un operador invertible acotado, el producto interno puede hacerse invariante bajo L ; y luego a su vez invariante bajo G redefiniendo

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{1}=\int _{H\backslash G}(gx,gy)\,dg.}}$

Como en la demostración anterior, la acotación uniforme garantiza que la norma definida por este producto interno es equivalente al producto interno original. Pero entonces la representación original sería unitarizable en G , lo cual es una contradicción. El mismo argumento funciona para cualquier subgrupo discreto de G de covolumen finito. En particular, los grupos de superficie , que son subgrupos cocompactos, tienen representaciones uniformemente acotadas que no son unitarizables.

Existen construcciones más directas de representaciones uniformemente acotadas de grupos libres que no son unitarizables: estas se analizan en Pisier (2001) . Los primeros ejemplos de este tipo se describen en Figà-Talamanca y Picardello (1983) , donde se construye un análogo de la serie complementaria.

Más tarde, Szwarc (1988) dio una construcción relacionada pero más simple, en el espacio de Hilbert H =${\displaystyle \ell }$² ( F ₂ ), de una familia holomorfa de representaciones uniformemente acotadas π _z de F ₂ para |z| < 1; estas no son unitarizables cuando 1/√3 < | z | < 1 y z no es real. Sea L ( g ) la longitud de palabra reducida en F ₂ para un conjunto dado de generadores a , b . Sea T el operador acotado definido en los elementos de la base por

${\displaystyle \displaystyle {Te_{1}=0,\,\,Te_{g}=e_{g^{\prime }},}}$

donde g ' se obtiene borrando la última letra en la expresión de g como una palabra reducida; identificando F2 con los vértices de su grafo de Cayley _, un árbol con raíz, ^{[ 7 ]} esto corresponde a pasar de un vértice al siguiente vértice más cercano al origen o raíz. Para |z| < 1

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{z}(g)=(I-zT)^{-1}\lambda (g)(I-zT)}}$

está bien definido en funciones con soporte finito. Pytlik y Szwarc (1986) habían demostrado anteriormente que se extiende a una representación uniformemente acotada en H que satisface

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)\|\leq {1+|z| \over 1-|z|}.}}$

De hecho, es fácil comprobar que el operador λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ – T tiene rango finito, con rango V _g , el espacio de dimensión finita de funciones soportadas en el conjunto de vértices que unen g al origen. Para cualquier función que se anule en este conjunto finito, T y λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ son iguales; y ambos dejan invariante V _g , sobre el cual actúan como contracciones y adjuntos uno del otro. Por lo tanto, si f tiene soporte finito y norma 1,

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)f\|=\|\lambda (g)f+\sum _{n=0}^{\infty }z^{n+1}T^{n}[T,\lambda (g)]f\|\leq 1+2\sum _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \over 1-|z|}.}}$

Para |z| < 1/√3, todas estas representaciones son similares a la representación regular λ. Si, por otro lado, 1/√3 < |z| < 1, entonces el operador

${\displaystyle \displaystyle {D=\pi _{z}(a)+\pi _{z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}}$

Satisface

${\displaystyle \displaystyle {Df=(3z+z^{-1})f}}$

donde f en H se define por

${\displaystyle \displaystyle {f(1)=1,\,\,f(g)={3 \over 4}(3z)^{-L(g)}\,\,(g\neq 1).}}$

Por lo tanto, si z no es real, D tiene un valor propio que no es real. Pero entonces π _z no puede ser unitarizable, ya que de lo contrario D sería similar a un operador autoadjunto.