La prueba más potente y uniforme

En las pruebas de hipótesis estadísticas , una prueba uniformemente más poderosa ( UMP ) es una prueba de hipótesis que tiene la mayor potencia entre todas las pruebas posibles de un tamaño dado α . Por ejemplo, según el lema de Neyman-Pearson , la prueba de razón de verosimilitud es UMP para probar hipótesis simples (puntuales). ${\estilo de visualización 1-\beta}$

Sea un vector aleatorio (correspondiente a las mediciones), tomado de una familia parametrizada de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad , que depende del parámetro determinista desconocido . El espacio de parámetros se divide en dos conjuntos disjuntos y . Sea la hipótesis de que , y sea la hipótesis de que . La prueba binaria de hipótesis se realiza utilizando una función de prueba con una región de rechazo (un subconjunto del espacio de medición). ${\estilo de visualización X}$ $estilo f_ {\theta}(x)}$${\displaystyle \theta \en \Theta }$${\estilo de visualización \Theta}$${\displaystyle \Theta _{0}}$$Estilo de visualización: \Theta_{1}$$Estilo de visualización H_{0}$${\displaystyle \theta \en \Theta _{0}}$$Estilo de visualización H_{1}$${\displaystyle \theta \en \Theta _{1}}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización R}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}}$

es decir, que está en vigor si se realiza la medición y que está en vigor si se realiza la medición . Nótese que es una cobertura disjunta del espacio de medición. ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle X\in R}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle X\in R^{c}}$${\displaystyle R\cup R^{c}}$

Una función de prueba es una UMP de tamaño si para cualquier otra función de prueba satisface ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \varphi '(x)}$

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,}$

tenemos

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].}$

El teorema de Karlin-Rubin puede considerarse una extensión del lema de Neyman-Pearson para hipótesis compuestas. ^[1] Considere una medición escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar θ , y defina la razón de verosimilitud . Si es monótona no decreciente, en , para cualquier par (lo que significa que cuanto mayor es, más probable es), entonces la prueba de umbral: ${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$${\displaystyle l(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

donde se elige tal que${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

es la prueba UMP de tamaño α para probar${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para probar${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

Aunque el teorema de Karlin-Rubin puede parecer débil debido a su restricción a parámetros escalares y mediciones escalares, resulta que existe una gran cantidad de problemas para los cuales el teorema es válido. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

tiene una razón de verosimilitud monótona y no decreciente en la estadística suficiente , siempre que no sea decreciente. ${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle \eta (\theta )}$

Sea iid vectores aleatorios de dos dimensiones distribuidos normalmente con matriz de covarianza y media . Entonces tenemos ${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \theta m}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

que tiene exactamente la forma de la familia exponencial mostrada en la sección anterior, siendo la estadística suficiente

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

Por lo tanto, concluimos que la prueba

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

es la prueba UMP de tamaño para probar vs.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

Por último, observamos que, en general, no existen pruebas UMP para parámetros vectoriales ni para pruebas bilaterales (una prueba en la que una hipótesis se encuentra en ambos lados de la alternativa). La razón es que, en estas situaciones, la prueba más potente de un tamaño dado para un valor posible del parámetro (por ejemplo, para donde ) es diferente de la prueba más potente del mismo tamaño para un valor diferente del parámetro (por ejemplo, para donde ). Como resultado, ninguna prueba es uniformemente más potente en estas situaciones. ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$

• Ferguson, TS (1967). "Sec. 5.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Estadística matemática: un enfoque teórico de decisiones . Nueva York: Academic Press.
• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Sec. IX.3.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Introducción a la teoría de la estadística (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• LL Scharf, Procesamiento estadístico de señales , Addison-Wesley, 1991, sección 4.7.