Espacio uniformemente liso

En matemáticas , un espacio uniformemente liso es un espacio vectorial normado.${\displaystyle X}$satisfaciendo la propiedad de que para cada${\displaystyle \epsilon >0}$existe${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que si${\displaystyle x,y\in X}$con${\displaystyle \|x\|=1}$y${\displaystyle \|y\|\leq \delta }$entonces

${\displaystyle \|x+y\|+\|xy\|\leq 2+\epsilon \|y\|.}$

El módulo de suavidad de un espacio normado X es la función ρ _X definida para todo t > 0 por la fórmula ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \rho _{X}(t)=\sup {\Bigl \{}{\frac {\|x+y\|+\|xy\|}{2}}-1\,:\,\|x\|=1,\;\|y\|=t{\Bigr \}}.}$

La desigualdad triangular produce que ρ _X ( t ) ≤ t . El espacio normado X es uniformemente liso si y solo si ρ _X ( t ) / t tiende a 0 cuando t tiende a  0.

• Todo espacio de Banach uniformemente liso es reflexivo . ^{[ 2 ]}
• Un espacio Banach${\displaystyle X}$es uniformemente suave si y solo si su dual continuo${\displaystyle X^{*}}$es uniformemente convexa (y viceversa, a través de la reflexividad). ^{[ 3 ]} Los módulos de convexidad y suavidad están vinculados por

${\displaystyle \rho _{X^{*}}(t)=\sup\{t\varepsilon /2-\delta _{X}(\varepsilon ):\varepsilon \in [0,2]\},\quad t\geq 0,}$

y la función convexa máxima mayorada por el módulo de convexidad δ _X viene dada por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )=\sup\{\varepsilon t/2-\rho _{X^{*}}(t):t\geq 0\}.}$

Además, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon /2)\leq {\tilde {\delta }}_{X}(\varepsilon )\leq \delta _{X}(\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].}$

• Un espacio de Banach es uniformemente liso si y solo si el límite

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\|x+ty\|-\|x\|}{t}}}$

existe uniformemente para todos${\displaystyle x,y\in S_{X}}$(dónde${\displaystyle S_{X}}$denota la esfera unitaria de${\displaystyle X}$).

• Cuando 1 < p < ∞ , los espacios L ^p son uniformemente suaves (y uniformemente convexos).

Enflo demostró ^{[ 6 ]} que la clase de espacios de Banach que admiten una norma uniformemente convexa equivalente coincide con la clase de espacios de Banach superreflexivos , introducida por Robert C. James . ^{[ 7 ]} Como un espacio es superreflexivo si y solo si su dual es superreflexivo, se deduce que la clase de espacios de Banach que admiten una norma uniformemente convexa equivalente coincide con la clase de espacios que admiten una norma uniformemente suave equivalente. El teorema de renormización de Pisier ^{[ 8 ]} establece que un espacio superreflexivo X admite una norma uniformemente suave equivalente para la cual el módulo de suavidad ρ _X satisface, para alguna constante C y algún p > 1   

${\displaystyle \rho _{X}(t)\leq C\,t^{p},\quad t>0.}$

De ello se deduce que todo espacio superreflexivo Y admite una norma uniformemente convexa equivalente para la cual el módulo de convexidad satisface, para alguna constante c > 0 y algún número real positivo q 

${\displaystyle \delta _{Y}(\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].}$

Si un espacio normado admite dos normas equivalentes, una uniformemente convexa y otra uniformemente suave, la técnica de promediado de Asplund ^{[ 9 ]} produce otra norma equivalente que es a la vez uniformemente convexa y uniformemente suave.

• Espacio uniformemente convexo

• Diestel, Joseph (1984), Secuencias y series en espacios de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  92, Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xii+261, ISBN 0-387-90859-5
• Itô, Kiyosi (1993), Diccionario enciclopédico de matemáticas , volumen 1 , MIT Press, ISBN 0-262-59020-4
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1979), Espacios clásicos de Banach. II. Espacios funcionales , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines], vol.  97, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs.  x+243, ISBN 3-540-08888-1.