Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Unimodalidad

En matemáticas , la unimodalidad significa poseer un único modo . De manera más general, la unimodalidad significa que existe un único valor máximo, definido de alguna manera, d...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , la unimodalidad significa poseer un único modo . De manera más general, la unimodalidad significa que existe un único valor máximo, definido de alguna manera, de algún objeto matemático . [ 1 ]

Distribución de probabilidad unimodal

Figura 1. Función de densidad de probabilidad de las distribuciones normales, un ejemplo de distribución unimodal.
Figura 2. Una distribución bimodal simple.
Figura 3. Una distribución bimodal. Nótese que solo el pico más grande correspondería a un modo en el sentido estricto de la definición de modo.

En estadística , una distribución de probabilidad unimodal es aquella que presenta un único pico. El término "moda" en este contexto se refiere a cualquier pico de la distribución, no solo a la definición estricta de moda que se utiliza habitualmente en estadística.

Si hay un solo modo, la función de distribución se llama "unimodal". Si tiene más modos es "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., o en general, "multimodal". [ 2 ] La Figura 1 ilustra las distribuciones normales , que son unimodales. Otros ejemplos de distribuciones unimodales incluyen la distribución de Cauchy , la distribución t de Student , la distribución chi-cuadrado y la distribución exponencial . Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial y la distribución de Poisson pueden considerarse unimodales, aunque para algunos parámetros pueden tener dos valores adyacentes con la misma probabilidad.

Las figuras 2 y 3 ilustran distribuciones bimodales.

Otras definiciones

También existen otras definiciones de unimodalidad en las funciones de distribución.

En las distribuciones continuas, la unimodalidad se puede definir a través del comportamiento de la función de distribución acumulativa (FDA). [ 3 ] Si la FDA es convexa para x  < m y cóncava para x > m , entonces la distribución es unimodal, siendo m la moda. Nótese que, según esta definición, la distribución uniforme es unimodal, [ 4 ] así como cualquier otra distribución en la que la distribución máxima se alcanza para un rango de valores, por ejemplo, la distribución trapezoidal. Por lo general, esta definición permite una discontinuidad en la moda; normalmente, en una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor individual es cero, mientras que esta definición permite una probabilidad distinta de cero, o un "átomo de probabilidad", en la moda.   

Los criterios de unimodalidad también pueden definirse a través de la función característica de la distribución [ 3 ] o a través de su transformada de Laplace-Stieltjes . [ 5 ]

Otra forma de definir una distribución discreta unimodal es mediante la ocurrencia de cambios de signo en la secuencia de diferencias de las probabilidades. [ 6 ] Una distribución discreta con una función de masa de probabilidad ,{pagnorte:norte=…,−1,0,1,…}{\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}, se denomina unimodal si la secuencia…,pag−2−pag−1,pag−1−pag0,pag0−pag1,pag1−pag2,…{\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }tiene exactamente un cambio de signo (cuando los ceros no cuentan).

Usos y resultados

Una de las razones de la importancia de la unimodalidad de la distribución es que permite obtener varios resultados importantes. A continuación se presentan varias desigualdades que solo son válidas para distribuciones unimodales. Por lo tanto, es importante evaluar si un conjunto de datos dado proviene o no de una distribución unimodal. En el artículo sobre distribución multimodal se presentan varias pruebas de unimodalidad .

Desigualdades

Desigualdad de Gauss

Un primer resultado importante es la desigualdad de Gauss . [ 7 ] La desigualdad de Gauss proporciona una cota superior para la probabilidad de que un valor se encuentre a más de una distancia dada de su moda. Esta desigualdad depende de la unimodalidad.

Desigualdad de Vysochanskij-Petunin

Una segunda desigualdad es la de Vysochanskij-Petunin , [ 8 ] un refinamiento de la desigualdad de Chebyshev . La desigualdad de Chebyshev garantiza que en cualquier distribución de probabilidad, "casi todos" los valores están "cerca" del valor medio. La desigualdad de Vysochanskij-Petunin refina aún más este refinamiento, acercándolo aún más a los valores medios, siempre que la función de distribución sea continua y unimodal. Sellke y Sellke [ 9 ] presentaron resultados adicionales.

Moda, mediana y media

Gauss también demostró en 1823 que para una distribución unimodal [ 10 ]

σ≤ω≤2σ{\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }

y

|ν−μ|≤34ω,{\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}

donde la mediana es ν , la media es μ y ω es la desviación cuadrática media con respecto a la moda.

Se puede demostrar para una distribución unimodal que la mediana ν y la media μ se encuentran dentro de (3/5) 1/2 ≈ 0,7746 desviaciones estándar entre sí. [ 11 ] En símbolos,

|ν−μ|σ≤35{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}

donde | . | es el valor absoluto .

En 2020, Bernard, Kazzi y Vanduffel generalizaron la desigualdad anterior al derivar la distancia máxima entre el promedio de cuantiles simétricos.qα+q(1−α)2{\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}y la media, [ 12 ]

|qα+q(1−α)2−μ|σ≤{49(1−α)−1 + 1−α1/3+α2para α∈[56,1),3α4−3α + 1−α1/3+α2para α∈(16,56),3α4−3α + 49α−12para α∈(0,16].{\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}

La distancia máxima se minimiza enα=0,5{\displaystyle \alpha =0.5}(es decir, cuando el promedio de cuantiles simétricos es igual a q0,5=ν{\displaystyle q_{0.5}=\nu }), lo que de hecho motiva la elección común de la mediana como un estimador robusto para la media. Además, cuandoα=0,5{\displaystyle \alpha =0.5}, el límite es igual a3/5{\displaystyle {\sqrt {3/5}}}, que es la distancia máxima entre la mediana y la media de una distribución unimodal.

Una relación similar se da entre la mediana y la moda θ : se encuentran dentro de 3 1/2 ≈ 1,732 desviaciones estándar una de la otra:

|ν−θ|σ≤3.{\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}

También se puede demostrar que la media y la moda se encuentran a menos de 3 1/2 de diferencia entre sí:

|μ−θ|σ≤3.{\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}

Asimetría y curtosis

Rohatgi y Szekely afirmaron que la asimetría y la curtosis de una distribución unimodal están relacionadas por la desigualdad: [ 13 ]

γ2−κ≤65=1.2{\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}

donde κ es la curtosis y γ es la asimetría. Klaassen, Mokveld y van Es demostraron que esto solo se aplica en ciertos contextos, como el conjunto de distribuciones unimodales donde la moda y la media coinciden. [ 14 ]

Derivaron una desigualdad más débil que se aplica a todas las distribuciones unimodales: [ 14 ]

γ2−κ≤186125=1.488{\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}

Este límite es preciso, ya que se alcanza mediante la mezcla de pesos iguales de la distribución uniforme en [0,1] y la distribución discreta en {0}.

Función unimodal

Dado que el término "modal" se aplica a conjuntos de datos y distribuciones de probabilidad, y no en general a funciones , las definiciones anteriores no son aplicables. La definición de "unimodal" también se extendió a funciones de números reales .

Una definición común es la siguiente: una función f ( x ) es unimodal si, para algún valor m , es monótonamente creciente para x  ≤ m y monótonamente decreciente para x ≥ m . En ese caso, el valor máximo de f ( x ) es f ( m ) y no existen otros máximos locales.   

Demostrar la unimodalidad suele ser difícil. Una forma consiste en utilizar la definición de dicha propiedad, pero resulta ser adecuada únicamente para funciones simples. Existe un método general basado en derivadas [ 15 ] , pero no funciona para todas las funciones a pesar de su simplicidad.

Algunos ejemplos de funciones unimodales son las funciones polinómicas cuadráticas con coeficiente cuadrático negativo, las funciones de mapa de tienda y otras.

Lo anterior a veces se relaciona con lo siguiente:fuerte unimodalidad , debido a que la monotonicidad implícita esfuerte monotonicidad. Una funciónf(x) esdébilmente unimodalsi existe un valormpara el cual es débilmente monótonamente creciente parax ≤my débilmente monótonamente decreciente parax≥m. En ese caso, el valor máximof(m) puede alcanzarse para un rango continuo de valores dex. Un ejemplo de una función débilmente unimodal que no es fuertemente unimodal es cada dos filas enel triángulo de Pascal.   

Dependiendo del contexto, una función unimodal también puede referirse a una función que tiene un único mínimo local, en lugar de un máximo. [ 16 ] Por ejemplo, el muestreo unimodal local , un método para realizar optimización numérica, se suele demostrar con una función de este tipo. Se puede decir que una función unimodal, bajo esta extensión, es una función con un único extremo local .

Una propiedad importante de las funciones unimodales es que el extremo se puede encontrar utilizando algoritmos de búsqueda como la búsqueda de la sección áurea , la búsqueda ternaria o la interpolación parabólica sucesiva . [ 17 ]

Otras extensiones

Una función f ( x ) es "S-unimodal" (a menudo denominada "mapa S-unimodal") si su derivada schwarziana es negativa para todo x.incógnita≠do{\displaystyle x\neq c}, dóndedo{\displaystyle c}es el punto crítico. [ 18 ]

En geometría computacional, si una función es unimodal, permite el diseño de algoritmos eficientes para encontrar los extremos de la función. [ 19 ]

Una definición más general, aplicable a una función f ( X ) de una variable vectorial X, es que f es unimodal si existe una función diferenciable biyectiva X = G ( Z ) tal que f ( G ( Z )) es convexa. Normalmente, se desea que G ( Z ) sea continuamente diferenciable con una matriz jacobiana no singular.

Las funciones cuasiconvexas y las funciones cuasiconcavas extienden el concepto de unimodalidad a funciones cuyos argumentos pertenecen a espacios euclidianos de dimensiones superiores .

Una función unimodal que mapea{0,1,…,norte}{\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}}La sucesión unimodal a los números reales también se denomina sucesión unimodal. Un polinomio unimodal es un polinomio cuyos coeficientes forman una sucesión unimodal. [ 20 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Unimodal" . MathWorld .
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Modo" . MundoMatemático .
  3. 1 2 A.Ya. Khinchin (1938). "Sobre distribuciones unimodales". Trams. Res. Inst. Math. Mech. (en ruso). 2 (2). Universidad de Tomsk: 1– 7.
  4. ↑ Ushakov, NG (2001) [1994], "Distribución unimodal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  5. ↑ Vladimirovich Gnedenko y Victor Yu Korolev (1996). Suma aleatoria: teoremas límite y aplicaciones . CRC-Press. ISBN 0-8493-2875-6.pág.  31
  6. ↑ Medgyessy, P. (marzo de 1972). "Sobre la unimodalidad de las distribuciones discretas" . Periodica Mathematica Hungarica . 2 ( 1–4 ): 245–257 . doi : 10.1007/bf02018665 . S2CID 119817256 . 
  7. ^ Gauss, CF (1823). "Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
  8. ↑ DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la probabilidad y estadística matemática . 21 : 25–36 .
  9. ↑ Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". American Statistician . 51 (1). American Statistical Association: 34– 40. doi : 10.2307/2684690 . JSTOR 2684690 . 
  10. ↑ Gauss CF Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Pars Posterior. Supplementum. Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One. Part Two. Supplement. 1995. Traducido por GW Stewart. Classics in Applied Mathematics Series, Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia
  11. ↑ Basu, S.; Dasgupta, A. (1997). "La media, la mediana y la moda de las distribuciones unimodales: una caracterización" . Theory of Probability & Its Applications . 41 (2): 210– 223. doi : 10.1137/S0040585X97975447 .
  12. ↑ Bernard, Carole; Kazzi, Rodrigue; Vanduffel, Steven (2020). "Límites del valor en riesgo de rango para distribuciones unimodales bajo información parcial" . Insurance: Mathematics and Economics . 94 : 9–24 . doi : 10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 .
  13. ↑ Rohatgi, Vijay K.; Székely, Gábor J. (1989). "Desigualdades pronunciadas entre asimetría y curtosis". Statistics & Probability Letters . 8 (4): 297– 299. doi : 10.1016/0167-7152(89)90035-7 .
  14. 1 2 Klaassen, Chris AJ; Mokveld, Philip J.; Van Es, Bert (2000). "Asimetría al cuadrado menos curtosis acotada por 186/125 para distribuciones unimodales". Statistics & Probability Letters . 50 (2): 131– 135. doi : 10.1016/S0167-7152(00)00090-0 .
  15. ↑ "Sobre la unimodalidad de la aproximación METRIC sujeta a demandas distribuidas normalmente" (PDF) . Método en el apéndice D, ejemplo en el teorema 2, página 5. Consultado el 28 de agosto de 2013 .
  16. ↑ "Glosario de programación matemática" . Consultado el 29 de marzo de 2020 .
  17. ↑ Demaine, Erik D.; Langerman, Stefan (2005). "Optimizing a 2D Function Satisfying Unimodality Properties" . En Brodal, Gerth Stølting; Leonardi, Stefano (eds.). Algorithms – ESA 2005. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3669. Berlín, Heidelberg: Springer. pp. 887–898 . doi : 10.1007/11561071_78 . ISBN   978-3-540-31951-1.
  18. ↑ Véase, por ejemplo, John Guckenheimer; Stewart Johnson (julio de 1990). "Distorsión de mapas S-unimodales". Annals of Mathematics . Segunda serie. 132 (1): 71– 130. doi : 10.2307/1971501 . JSTOR 1971501 . 
  19. ↑ Godfried T. Toussaint (junio de 1984). "Complejidad, convexidad y unimodalidad". Revista Internacional de Ciencias de la Computación e Información . 13 (3): 197– 217. doi : 10.1007/bf00979872 . S2CID 11577312 . 
  20. ↑ Weisstein, Eric W. "Polinomio unimodal" . MathWorld . Consultado el 31 de enero de 2026 .