Red unimodular

En geometría y teoría matemática de grupos , una red unimodular es una red integral de determinante  1  o −1 . Para una red en el espacio euclidiano n- dimensional , esto es equivalente a exigir que el volumen de cualquier dominio fundamental de la red sea 1.  

La red E ₈ y la red de Leech son dos ejemplos famosos.

• Un retículo es un grupo abeliano libre de rango finito con una forma bilineal simétrica (·, ·).
• La red es integral si (·,·) toma valores enteros .
• La dimensión de una red es la misma que su rango (como un módulo Z ) .
• La norma de un elemento reticular a es ( a , a ).
• Una red es definida positiva si la norma de todos sus elementos distintos de cero es positiva.
• El determinante de un retículo es el determinante de la matriz de Gram , una matriz con entradas ( a _i , a _j ), donde los elementos a _i forman una base para el retículo.
• Una red integral es unimodular si su determinante es 1 o − 1.
• Un retículo unimodular es par o de tipo II si todas las normas son pares, de lo contrario es impar o de tipo I.
• El mínimo de una red definida positiva es la norma no nula más baja.
• Las retículas suelen estar incrustadas en un espacio vectorial real con una forma bilineal simétrica. La retícula es definida positiva , lorentziana , etc., si su espacio vectorial lo es.
• La signatura de una red es la signatura de la forma en el espacio vectorial.

Los tres ejemplos más importantes de retículos unimodulares son:

• La red Z (el conjunto de todos los números enteros ), en una dimensión.
• La red E ₈ , una red par de 8 dimensiones.
• La red de Leech , una red unimodular par de 24 dimensiones sin raíces.

Una red integral es unimodular si y solo si su red dual es integral. Las redes unimodulares son iguales a sus redes duales, y por esta razón, también se las conoce como redes autoduales.

Dado un par ( m , n ) de enteros no negativos, existe un retículo unimodular par de signatura ( m , n ) si y solo si m − n es divisible por 8, pero siempre existe un retículo unimodular impar de signatura ( m , n ). En particular, los retículos definidos unimodulares pares solo existen en dimensión divisible por 8. Ejemplos en todas las signaturas admisibles se dan mediante las construcciones II _m,n e I _m,n , respectivamente.

La función theta de un retículo unimodular definido positivo es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si el retículo es par, la forma tiene nivel 1, y si el retículo es impar, la forma tiene estructura Γ ₀ (4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido a la cota dimensional de los espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector no nulo de un retículo unimodular par no es mayor que ⎣ n /24⎦ + 1. Un retículo unimodular par que alcanza esta cota se denomina extremal. Se conocen retículos unimodulares pares extremales en dimensiones relevantes hasta 80, ^{[ 1 ]} y se ha demostrado su inexistencia para dimensiones superiores a 163,264. ^{[ 2 ]}

Para retículos indefinidos, la clasificación es fácil de describir. Escribimos R ^{m , n} para el espacio vectorial de dimensión m  + n R ^{m + n} con el producto interno de ( a ₁ , ..., a _{m + n} ) y ( b ₁ , ..., b _{m + n} ) dado por     

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{m}b_{m}-a_{m+1}b_{m+1}-\cdots -a_{m+n}b_{m+n}.\,}$

En R ^{m , n} hay un retículo unimodular indefinido impar salvo isomorfismo , denotado por

Soy _{, n} ,_​

que viene dado por todos los vectores ( a ₁ ,..., a _{m + n} ) en R ^{m , n} con todos los a _i enteros.

No existen retículos unimodulares pares indefinidos a menos que

m − n es divisible por 8,

en cuyo caso hay un único ejemplo salvo isomorfismo, denotado por

II _{m , n} .

Esto viene dado por todos los vectores ( a ₁ ,..., a _{m + n} ) en R ^{m , n} tales que todos los a _i son enteros o todos son enteros más 1/2, y su suma es par. La red II _8,0 es la misma que la red E ₈ .

Se han clasificado retículos unimodulares definidos positivos hasta la dimensión 25. Hay un único ejemplo I _{n ,0} en cada dimensión n menor que 8, y dos ejemplos ( I _8,0 y II _8,0 ) en la dimensión 8. El número de retículos aumenta moderadamente hasta la dimensión 25 (donde hay 665 de ellos), pero más allá de la dimensión 25 la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel implica que el número aumenta muy rápidamente con la dimensión; por ejemplo, hay más de 80 000 000 000 000 000 000 en la dimensión 32.

_{En cierto sentido ,} las redes unimodulares hasta la dimensión 9 están controladas por E⁸ , y hasta la dimensión 25 por la red de Leech, lo que explica su comportamiento excepcionalmente bueno en estas dimensiones. Por ejemplo, el diagrama de Dynkin de los vectores de norma 2 de redes unimodulares hasta la dimensión 25 se puede identificar de forma natural con una configuración de vectores en la red de Leech. El notable aumento de números más allá de la dimensión 25 podría atribuirse al hecho de que estas redes ya no están controladas por la red de Leech.

Incluso las redes unimodulares definidas positivas existen solo en dimensiones divisibles por 8. Hay una en dimensión 8 (la red E _{8 ), dos en dimensión 16 (} E ₈ ² y II _16,0 ), y 24 en dimensión 24, llamadas redes de Niemeier (ejemplos: la red de Leech , II _24,0 , II _16,0  + II _8,0 , II _8,0 ³ ). Más allá de 24 dimensiones, el número aumenta muy rápidamente; en 32 dimensiones hay más de mil millones de ellas. 

Se han clasificado retículos unimodulares sin raíces (vectores de norma 1 o 2) hasta la dimensión 29. No hay ninguno de dimensión menor que 23 (¡aparte del retículo cero!). Hay uno en dimensión 23 (llamado retículo Leech corto ), dos en dimensión 24 (el retículo Leech y el retículo Leech impar ), y Bacher y Venkov (2001) mostraron que hay 0, 1, 3, 38 en dimensiones 25, 26, 27, 28, respectivamente. Más allá de esto, el número aumenta muy rápidamente; hay 10092 en dimensión 29 ( Allombert y Chenevier 2025 ) . En dimensiones suficientemente altas, la mayoría de los retículos unimodulares no tienen raíces.

El único ejemplo distinto de cero de retículos unimodulares definidos positivos pares sin raíces en dimensión menor que 32 es el retículo de Leech en dimensión 24. En dimensión 32 hay más de diez millones de ejemplos, y por encima de la dimensión 32 el número aumenta muy rápidamente.

La siguiente tabla de ( King 2003 ) da los números de (o límites inferiores para) redes unimodulares pares o impares en varias dimensiones, y muestra el crecimiento muy rápido que comienza poco después de la dimensión 24.

Más allá de las 32 dimensiones, las cifras aumentan aún más rápidamente.

El segundo grupo de cohomología de una 4-variedad topológica cerrada, simplemente conexa y orientada es un retículo unimodular. Michael Freedman demostró que este retículo casi determina la variedad : existe una única variedad de este tipo para cada retículo unimodular par, y exactamente dos para cada retículo unimodular impar. En particular, si tomamos el retículo como 0, esto implica la conjetura de Poincaré para variedades topológicas de 4 dimensiones. El teorema de Donaldson establece que si la variedad es lisa y el retículo es definido positivo, entonces debe ser una suma de copias de Z , por lo que la mayoría de estas variedades no tienen una estructura lisa . Un ejemplo de ello es la${\displaystyle E_{8}}$colector .

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• Allombert, Bill; Chenevier, Gaëtan (2025), "Unimodular Hunting II" (PDF) , Forum of Mathematics, Sigma : 13:e136, doi : 10.1017/fms.2025.10058
• Chenevier, Gaëtan (2025), "Caza unimodular" , Geometría algebraica

• Catálogo de retículos unimodulares de Gabriele Nebe y Neil Sloane .
• Secuencia OEIS A005134 (Número de redes unimodulares n-dimensionales)