Unipotente

Consideremos el grupo${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$De matrices triangulares superiores con${\displaystyle 1}$están a lo largo de la diagonal, por lo que son el grupo de matrices ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

Entonces, un grupo unipotente puede definirse como un subgrupo de algún${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$. Utilizando la teoría de esquemas el grupo${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$puede definirse como el esquema de grupo

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

y un esquema de grupo afín es unipotente si es un esquema de grupo cerrado de este esquema.

Un elemento x de un grupo algebraico afín es unipotente cuando su operador de traslación derecha asociado, r _x , en el anillo de coordenadas afines A [ G ] de G es localmente unipotente como elemento del anillo de endomorfismos lineales de A [ G ]. (Localmente unipotente significa que su restricción a cualquier subespacio estable de dimensión finita de A [ G ] es unipotente en el sentido usual de la teoría de anillos).

Un grupo algebraico afín se denomina unipotente si todos sus elementos son unipotentes. Cualquier grupo algebraico unipotente es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores con entradas diagonales iguales a 1, y, a la inversa, cualquier subgrupo de este tipo es unipotente. En particular, cualquier grupo unipotente es un grupo nilpotente , aunque lo contrario no es cierto (contraejemplo: las matrices diagonales de GL _n ( k )).

Por ejemplo, la representación estándar de${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$en${\displaystyle k^{n}}$con base estándar${\displaystyle e_{i}}$tiene el vector fijo${\displaystyle e_{1}}$.

Si un grupo unipotente actúa sobre una variedad afín , todas sus órbitas son cerradas, y si actúa linealmente sobre un espacio vectorial de dimensión finita , entonces tiene un vector fijo distinto de cero. De hecho, esta última propiedad caracteriza a los grupos unipotentes. ^{[ 2 ]} En particular, esto implica que no existen representaciones semisimples no triviales .

Por supuesto, el grupo de matrices${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$es unipotente. Usando la serie central inferior

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$y${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

existen grupos unipotentes asociados. Por ejemplo, en${\displaystyle n=4}$, las series centrales son los grupos de matrices

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$,${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$,${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, y${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

dados algunos ejemplos inducidos de grupos unipotentes.

El grupo aditivo${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$es un grupo unipotente a través de la incrustación

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Observe que la multiplicación de matrices da como resultado

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto, se trata de una incrustación de grupo. De manera más general, existe una incrustación.${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$del mapa

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Utilizando la teoría de esquemas,${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$viene dado por el functor

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

dónde

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Consideremos el functor${\displaystyle {\mathcal {O}}}$en la subcategoría${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$, ahí está el subfunctor${\displaystyle \alpha _{p}}$dónde

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

así viene dado por el núcleo del endomorfismo de Frobenius .

En principio, los grupos unipotentes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de cualquier dimensión dada pueden clasificarse, pero en la práctica la complejidad de la clasificación aumenta rápidamente con la dimensión, por lo que algunos tienden a desistir alrededor de la dimensión 6.

Sobre característica 0 existe un buen teorema de descomposición de un grupo algebraico conmutativo.${\displaystyle G}$relacionando su estructura con la estructura de un grupo algebraico lineal y una variedad abeliana . Hay una corta sucesión exacta de grupos ^{[ 3 ] página 8}

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

dónde${\displaystyle A}$es una variedad abeliana,${\displaystyle M}$es de tipo multiplicativo (es decir,${\displaystyle M}$es, geométricamente, un producto de toros y grupos algebraicos de la forma${\displaystyle \mu _{n}}$) y${\displaystyle U}$es un grupo unipotente.

Cuando la característica del cuerpo base es p, existe una afirmación análoga ^{[ 3 ]} para un grupo algebraico.${\displaystyle G}$: existe un subgrupo más pequeño${\displaystyle H}$de tal manera que

1. ${\displaystyle G/H}$es un grupo unipotente
2. ${\displaystyle H}$es una extensión de una variedad abeliana${\displaystyle A}$por un grupo${\displaystyle M}$de tipo multiplicativo.
3. ${\displaystyle M}$es único hasta la conmensurabilidad en${\displaystyle G}$y${\displaystyle A}$es único hasta la isogenia .