Matriz unistocástica

En matemáticas , una matriz unistocástica (también llamada unitaria-estocástica ) es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de los valores absolutos de las entradas de alguna matriz unitaria .

Una matriz cuadrada B de tamaño n es doblemente estocástica (o bistocástica ) si todas sus entradas son números reales no negativos y la suma de cada una de sus filas y columnas es igual a 1. Es no estocástica si existe una matriz unitaria U tal que

${\displaystyle B_{ij}=|U_{ij}|^{2}{\text{ para }}i,j=1,\dots ,n.\,}$

Esta definición es análoga a la de una matriz ortosocástica , que es una matriz doblemente estocástica cuyas entradas son los cuadrados de las entradas de alguna matriz ortogonal . Dado que todas las matrices ortogonales son necesariamente matrices unitarias, todas las matrices ortosocásticas también son no isocásticas. Sin embargo, lo contrario no es cierto. En primer lugar, todas las matrices doblemente estocásticas de 2x2 son tanto no isocásticas como ortosocásticas , pero para valores mayores de n esto no sucede. Por ejemplo, consideremos${\displaystyle n=3}$y consideremos la siguiente matriz doblemente estocástica:

${\displaystyle B={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz no es unistocástica, ya que dos vectores cualesquiera con módulos iguales a la raíz cuadrada de las entradas de dos columnas (o filas) de B no pueden hacerse ortogonales mediante una elección adecuada de fases. Para${\textstyle n>2}$El conjunto de matrices ortosocásticas es un subconjunto propio del conjunto de matrices unistocásticas.

• El conjunto de matrices no estocásticas contiene todas las matrices de permutación y su envoltura convexa es el politopo de Birkhoff de todas las matrices doblemente estocásticas.
• para ${\displaystyle n\geq 3}$Este conjunto no es convexo.
• para ${\displaystyle n=3}$El conjunto de desigualdades triangulares sobre los módulos de la materia bruta es una condición suficiente y necesaria para la unistocasticidad ^{[ 1 ].}
• para ${\displaystyle n=3}$El conjunto de matrices no isocásticas tiene forma de estrella y la no isocasticidad de cualquier matriz biestocástica B está implícita en un valor no negativo de su invariante de Jarlskog ^{[ 2 ].}
• para ${\displaystyle n=3}$El volumen relativo del conjunto de matrices no isocásticas con respecto al politopo de Birkhoff de matrices doblemente estocásticas es ^{[ 3 ].}${\displaystyle 8\pi ^{2}/105\approx 75.2\%}$
• para ${\displaystyle n=4}$Las condiciones explícitas para la unistocasticidad aún no se conocen, pero existe un método numérico para verificar la unistocasticidad basado en el algoritmo de Haagerup ^{[ 4 ].}
• El teorema de Schur-Horn es equivalente a la siguiente propiedad de "convexidad débil" del conjunto${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$de isocástica${\displaystyle n\times n}$matrices: para cualquier vector${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ the set ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}v}$ is the convex hull of the set of vectors obtained by all permutations of the entries of the vector ${\displaystyle v}$ (the permutation polytope generated by the vector ${\displaystyle v}$).
• The set of ${\displaystyle n\times n}$ unistochastic matrices ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}\subset \mathbb {R} ^{(n-1)^{2}}}$ has a nonempty interior. The unistochastic matrix corresponding to the unitary ${\displaystyle n\times n}$ matrix with the entries ${\displaystyle U_{ij}=\delta _{ij}+{\frac {\theta -1}{n}}}$, where ${\displaystyle |\theta |=1}$ and ${\displaystyle \theta \neq \pm 1}$, is an interior point of ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$.

• Bengtsson, Ingemar; Ericsson, Åsa; Kuś, Marek; Tadej, Wojciech; Życzkowski, Karol (2005), "Politopo y matrices unistocásticas de Birkhoff, N = 3 y N = 4", Comunicaciones en física matemática , 259 (2): 307– 324, arXiv : math/0402325 , Bibcode : 2005CMaPh.259..307B , doi : 10.1007/s00220-005-1392-8.
• Bengtsson, Ingemar (2004-03-11). "La importancia de ser no isocástico". arXiv : quant-ph/0403088 .
• Karabegov, Alexander (14 de junio de 2008). "Una aplicación de matrices y símbolos unitarios a doblemente estocásticos en un conjunto finito". AIP Conference Proceedings . págs. 39–50 . arXiv : 0806.2357 . doi : 10.1063/1.3043870 .