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Celda unitaria

En geometría , biología , mineralogía y física del estado sólido , una celda unitaria es una unidad repetitiva formada por los vectores que abarcan los puntos de una red. [ 1 ] ...

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En geometría , biología , mineralogía y física del estado sólido , una celda unitaria es una unidad repetitiva formada por los vectores que abarcan los puntos de una red. [ 1 ] A pesar de su nombre sugerente, la celda unitaria (a diferencia de un vector unitario , por ejemplo) no tiene necesariamente un tamaño unitario, ni siquiera un tamaño particular. Más bien, la celda primitiva es la analogía más cercana a un vector unitario, ya que tiene un tamaño determinado para una red dada y es el bloque de construcción básico a partir del cual se construyen celdas más grandes. Geométricamente, este es un caso especial de un dominio fundamental de un grupo (las simetrías de traslación) que actúa sobre un espacio topológico (espacio euclidiano).

Este concepto se utiliza especialmente para describir la estructura cristalina en dos y tres dimensiones, aunque tiene sentido en todas ellas. Una red cristalina se caracteriza por la geometría de su celda unitaria, que es una sección del teselado (un paralelogramo o paralelepípedo ) que genera el teselado completo mediante traslaciones únicamente.

Existen dos casos especiales de celda unitaria: la celda primitiva y la celda convencional . La celda primitiva es una celda unitaria que corresponde a un único punto de la red ; es la celda unitaria más pequeña posible. [ 2 ] En algunos casos, la simetría completa de una estructura cristalina no es evidente a partir de la celda primitiva, en cuyo caso se puede utilizar una celda convencional. Una celda convencional (que puede ser primitiva o no) es una celda unitaria con la simetría completa de la red y puede incluir más de un punto de la red. Las celdas unitarias convencionales son paralelepípedos en n dimensiones.

Célula primitiva

Una celda primitiva es una celda unitaria que contiene exactamente un punto de la red. En general, para las celdas unitarias, los puntos de la red que comparten n celdas se cuentan como 1 / n de los puntos de la red contenidos en cada una de esas celdas; por ejemplo, una celda unitaria primitiva en tres dimensiones que tiene puntos de la red solo en sus ocho vértices se considera que contiene 1/8 de cada uno de ellos. [ 3 ] Una conceptualización alternativa es elegir consistentemente solo uno de los n puntos de la red para que pertenezca a la celda unitaria dada (de modo que los otros n-1 puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes).

Los vectores de traslación primitivos a → 1 , a → 2 , a → 3 abarcan una celda reticular de menor volumen para una red tridimensional particular, y se utilizan para definir un vector de traslación cristalino.

T→=tú1a→1+tú2a→2+tú3a→3,{\displaystyle {\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},}

donde u 1 , u 2 , u 3 son enteros, traslación por la cual la red permanece invariante. [ nota 1 ] Es decir, para un punto en la red r , la disposición de los puntos aparece igual desde r′ = r + T → que desde r . [ 4 ]

Dado que la célula primitiva se define por los ejes (vectores) primitivos a → 1 , a → 2 , a → 3 , el volumen V p de la célula primitiva viene dado por el paralelepípedo formado por los ejes anteriores como

Vpag=|a→1⋅(a→2×a→3)|.{\displaystyle V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.}

Generalmente, las células primitivas en dos y tres dimensiones se eligen con forma de paralelogramos y paralelepípedos, con un átomo en cada vértice. Esta elección de célula primitiva no es única, pero el volumen de las células primitivas siempre vendrá dado por la expresión anterior. [ 5 ]

celda de Wigner-Seitz

Además de las celdas primitivas paralelepípedas, para cada red de Bravais existe otro tipo de celda primitiva llamada celda de Wigner-Seitz. En la celda de Wigner-Seitz, el punto de la red se encuentra en el centro de la celda, y para la mayoría de las redes de Bravais, la forma no es un paralelogramo ni un paralelepípedo. Se trata de un tipo de celda de Voronoi . La celda de Wigner-Seitz de la red recíproca en el espacio de momentos se denomina zona de Brillouin .

Célula convencional

Para cada red cristalina particular, los cristalógrafos han elegido una celda convencional caso por caso, basándose en la conveniencia del cálculo. [ 6 ] Estas celdas convencionales pueden tener puntos de red adicionales ubicados en el centro de las caras o el cuerpo de la celda unitaria. El número de puntos de red, así como el volumen de la celda convencional, es un múltiplo entero (1, 2, 3 o 4) del de la celda primitiva. [ 7 ]

Dos dimensiones

El paralelogramo es la célula primitiva general del plano.

En cualquier red bidimensional, las celdas unitarias son paralelogramos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas. Cuatro de las cinco redes de Bravais bidimensionales se representan mediante celdas primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

La red rectangular centrada también tiene una celda primitiva en forma de rombo, pero para permitir una fácil discriminación en función de la simetría, se representa mediante una celda convencional que contiene dos puntos de la red.

Tres dimensiones

Un paralelepípedo es una célula primitiva general para el espacio tridimensional.

En cualquier red tridimensional, las celdas unitarias convencionales son paralelepípedos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas cosas. Siete de las catorce redes de Bravais tridimensionales se representan mediante celdas primitivas convencionales, como se muestra a continuación.

Las otras siete redes de Bravais (conocidas como redes centradas) también tienen celdas primitivas con forma de paralelepípedo, pero para permitir una fácil discriminación en función de la simetría, están representadas por celdas convencionales que contienen más de un punto de la red.

Véase también

Notas

  1. ↑ En n dimensiones, el vector de traslación del cristal sería
    T→=∑i=1nortetúia→i,dónde túi∈Z∀i.{\displaystyle {\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{donde }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.}
    Es decir, para un punto en la red r , la disposición de los puntos aparece igual desde r′ = r + T → que desde r .

Referencias

  1. ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). «Capítulo 4». Física del estado sólido . WB Saunders Company. pág.  72. ISBN 0-03-083993-9.
  2. ↑ Simon, Steven (2013). The Oxford Solid State Physics (1.ª ed.). Oxford University Press. p. 114. ISBN   978-0-19-968076-4.
  3. ↑ "DoITPoMS – Biblioteca TLP de Cristalografía – Celda Unitaria" . Recursos de aprendizaje en línea sobre ciencia de los materiales: DoITPoMS . Universidad de Cambridge . Consultado el 21 de febrero de 2015 .
  4. ↑ Kittel, Charles (11 de noviembre de 2004). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). Wiley. pág . 4. ISBN   978-0-471-41526-8.
  5. ↑ Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "La biblioteca AFLOW de prototipos cristalográficos: parte 1". Ciencia de materiales computacional . 136. Elsevier BV: S1– S828. arXiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .  
  6. ↑ Aroyo, MI, ed. (31 de diciembre de 2016). Tablas internacionales de cristalografía . Chester, Inglaterra: Unión Internacional de Cristalografía. pág. 25. doi : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN  978-0-470-97423-0.
  7. ↑ Ashcroft, Neil W. (1976). Física del estado sólido . WB Saunders Company. pág. 73. ISBN  0-03-083993-9.