fracción unitaria

La multiplicación de dos fracciones unitarias cualesquiera da como resultado un producto que es otra fracción unitaria: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ Sin embargo, sumar , ^{[ 3 ]} restar , ^{[ 3 ]} o dividir dos fracciones unitarias produce un resultado que generalmente no es una fracción unitaria: $${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Como muestra la última de estas fórmulas, toda fracción puede expresarse como un cociente de dos fracciones unitarias. ^{[ 4 ]}

En aritmética modular , cualquier fracción unitaria se puede convertir en un número entero equivalente utilizando el algoritmo euclidiano extendido . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Esta conversión se puede utilizar para realizar la división modular: dividir por un número${\displaystyle x}$, módulo${\displaystyle y}$, se puede realizar convirtiendo la fracción unitaria${\displaystyle 1/x}$en un número entero equivalente módulo${\displaystyle y}$y luego multiplicando por ese número. ^{[ 7 ]}

Supongamos con más detalle que${\displaystyle x}$es relativamente primordial para${\displaystyle y}$(de lo contrario, división por${\displaystyle x}$no está definido módulo${\displaystyle y}$). El algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor se puede utilizar para encontrar números enteros${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de tal manera que se satisfaga la identidad de Bézout :$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$ En módulo-${\displaystyle y}$aritmética, el término${\displaystyle by}$puede eliminarse ya que es cero módulo${\displaystyle y}$Esto deja $${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$ Eso es,${\displaystyle a}$es el inverso modular de${\displaystyle x}$, el número que cuando se multiplica por${\displaystyle x}$produce uno. De forma equivalente, ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$ Por lo tanto, la división por${\displaystyle x}$(módulo${\displaystyle y}$) en su lugar se puede realizar multiplicando por el entero${\displaystyle a}$. ^{[ 7 ]}

Cualquier número racional positivo puede escribirse como la suma de fracciones unitarias distintas, de múltiples maneras. Por ejemplo,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Estas sumas se denominan fracciones egipcias , porque las antiguas civilizaciones egipcias las utilizaban como notación para números racionales más generales . Todavía hoy existe interés en analizar los métodos empleados por los antiguos para elegir entre las posibles representaciones de un número fraccionario y para calcular con dichas representaciones. ^{[ 8 ]} El tema de las fracciones egipcias también ha suscitado interés en la teoría moderna de números ; por ejemplo, el problema de Erdős-Graham ^{[ 9 ]} y la conjetura de Erdős-Straus ^{[ 10 ]} se refieren a sumas de fracciones unitarias, al igual que la definición de los números armónicos de Ore . ^{[ 11 ]}

En la teoría geométrica de grupos , los grupos triangulares se clasifican en casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos según si la suma de fracciones unitarias asociadas es igual a uno, mayor que uno o menor que uno, respectivamente. ^{[ 12 ]}

Muchas series infinitas bien conocidas tienen términos que son fracciones unitarias. Entre ellas se incluyen:

• La serie armónica , la suma de todas las fracciones unitarias positivas. Esta suma diverge, y sus sumas parciales$${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$aproximarse mucho al logaritmo natural de${\displaystyle n}$más la constante de Euler-Mascheroni . ^{[ 13 ]} Cambiar cada suma alternada por una resta produce la serie armónica alternada, que suma el logaritmo natural de 2 : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• La fórmula de Leibniz para π es ^{[ 15 ]}$${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• El problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones unitarias cuadradas: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$De manera similar, la constante de Apéry es un número irracional , la suma de las fracciones unitarias al cubo. ^{[ 17 ]}
• La serie geométrica binaria es ^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Una matriz de Hilbert es una matriz cuadrada en la que los elementos de la${\displaystyle i}$La antidiagonal es igual a la fracción unitaria.${\displaystyle 1/i}$. Es decir, tiene elementos $${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$ Por ejemplo, la matriz $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$ es una matriz de Hilbert. Tiene la propiedad inusual de que todos los elementos de su matriz inversa son enteros. ^{[ 19 ]} De manera similar, Richardson (2001) definió una matriz cuyos elementos son fracciones unitarias cuyos denominadores son números de Fibonacci : $${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$ dónde${\displaystyle F_{i}}$denota el${\displaystyle i}$Número de Fibonacci. Él llama a esta matriz matriz de Filbert y tiene la misma propiedad de tener una inversa entera. ^{[ 20 ]}

Dos fracciones${\displaystyle a/b}$y${\displaystyle c/d}$(en términos mínimos) se denominan adyacentes si$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$lo que implica que difieren entre sí en una fracción unitaria: $${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$ Por ejemplo,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$y${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$son adyacentes:${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$y${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$. Sin embargo, algunos pares de fracciones cuya diferencia es una fracción unitaria no son adyacentes en este sentido: por ejemplo,${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$y${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$difieren en una fracción unitaria, pero no son adyacentes, porque para ellos${\displaystyle ad-bc=3}$. ^{[ 21 ]}

Esta terminología proviene del estudio de los círculos de Ford . Estos son un sistema de círculos que son tangentes a la recta numérica en una fracción dada y tienen el denominador al cuadrado de la fracción como su diámetro. Fracciones${\displaystyle a/b}$y${\displaystyle c/d}$son adyacentes si y solo si sus círculos de Ford son círculos tangentes . ^{[ 21 ]}

En la enseñanza de las matemáticas , las fracciones unitarias suelen introducirse antes que otros tipos de fracciones, debido a la facilidad con la que se pueden explicar visualmente como partes iguales de un todo. ^{[ 22 ] [ 23 ]} Un uso práctico común de las fracciones unitarias es dividir la comida equitativamente entre varias personas, y los ejercicios para realizar este tipo de división justa son un ejemplo estándar en el aula para enseñar a los estudiantes a trabajar con fracciones unitarias. ^{[ 24 ]}

En una distribución uniforme sobre un espacio discreto , todas las probabilidades son fracciones unitarias iguales. Debido al principio de indiferencia , las probabilidades de esta forma aparecen con frecuencia en los cálculos estadísticos. ^{[ 25 ]}

Las probabilidades desiguales relacionadas con las fracciones unitarias surgen en la ley de Zipf . Esta establece que, para muchos fenómenos observados que implican la selección de elementos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que${\displaystyle n}$El elemento seleccionado es proporcional a la fracción unitaria.${\displaystyle 1/n}$. ^{[ 26 ]}

En el estudio de problemas de optimización combinatoria , los problemas de empaquetamiento de contenedores implican una secuencia de entrada de elementos con tamaños fraccionarios, que deben colocarse en contenedores cuya capacidad (el tamaño total de los elementos colocados en cada contenedor) es uno. La investigación sobre estos problemas ha incluido el estudio de problemas de empaquetamiento de contenedores restringidos donde los tamaños de los elementos son fracciones unitarias. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Una motivación para esto es como caso de prueba para métodos de empaquetamiento de contenedores más generales. Otra implica una forma de programación de molinete , en la que una colección de mensajes de igual longitud debe transmitirse repetidamente en un número limitado de canales de comunicación, con cada mensaje teniendo un retraso máximo entre los tiempos de inicio de sus transmisiones repetidas. Un elemento cuyo retraso es${\displaystyle k}$veces la longitud de un mensaje debe ocupar una fracción de al menos${\displaystyle 1/k}$de las franjas horarias en el canal al que está asignado, por lo que una solución al problema de programación solo puede provenir de una solución al problema de empaquetamiento de contenedores de fracción unitaria con los canales como contenedores y las fracciones${\displaystyle 1/k}$como tamaños de artículos. ^{[ 27 ]}

Incluso para problemas de empaquetamiento de contenedores con tamaños de elementos arbitrarios, puede ser útil redondear el tamaño de cada elemento a la fracción unitaria superior más cercana y, a continuación, aplicar un algoritmo de empaquetamiento de contenedores especializado para fracciones unitarias. En particular, el método de empaquetamiento armónico de contenedores hace precisamente esto y, a continuación, empaqueta cada contenedor utilizando elementos de un único tamaño de fracción unitaria redondeada. ^{[ 28 ]}

Según la fórmula de Rydberg , los niveles de energía de los fotones que puede absorber o emitir un átomo de hidrógeno son proporcionales a la diferencia de dos fracciones unitarias. El modelo de Bohr explica este fenómeno , ya que los niveles de energía de los orbitales electrónicos en un átomo de hidrógeno son inversamente proporcionales al cuadrado de las fracciones unitarias, y la energía de un fotón se cuantifica como la diferencia entre dos niveles. ^{[ 29 ]}

Arthur Eddington argumentó que la constante de estructura fina era una fracción unitaria. Inicialmente pensó que era 1/136 y luego cambió su teoría a 1/137. Esta afirmación ha sido refutada, dado que las estimaciones actuales de la constante de estructura fina son (con 6 cifras significativas) 1/137,036. ^{[ 30 ]}