Esfera unitaria

En matemáticas , una esfera unitaria es una esfera de radio unitario : el conjunto de puntos a una distancia euclidiana 1 de algún punto central en el espacio tridimensional . Más generalmente, la unidad${\displaystyle n}$⁠ -esferaes una ⁠${\displaystyle n}$-esfera deradio unitario en${\displaystyle (n+1)}$- espacio euclidiano dimensional ;el círculo unitario es un caso especial, la unidad${\displaystyle 1}$-esfera en el plano . Una bola unitaria ( abierta )es la región dentro de una esfera unitaria, el conjunto de puntos a una distancia menor que 1 del centro.

Una esfera unitaria o bola unitaria con centro en el origen del espacio se denomina esfera unitaria (canónica) o bola unitaria (canónica). Cualquier esfera arbitraria puede transformarse en la esfera unitaria mediante una combinación de traslación y escalado , por lo que el estudio de las esferas en general a menudo se reduce al estudio de la esfera unitaria.

La esfera unitaria se usa a menudo como modelo para la geometría esférica porque tiene una curvatura seccional constante de 1, lo que simplifica los cálculos. En trigonometría , la longitud del arco circular en el círculo unitario se llama radianes y se usa para medir la distancia angular ; en trigonometría esférica, el área de la superficie de la esfera unitaria se llama estereorradianes y se usa para medir el ángulo sólido .

En contextos más generales, una esfera unitaria es el conjunto de puntos a distancia 1 de un punto central fijo, donde se pueden utilizar diferentes normas como nociones generales de "distancia", y una bola unitaria (abierta) es la región interior.

En el espacio euclidiano de ⁠${\displaystyle n}$dimensiones , el${\displaystyle (n-1)}$La esfera unitaria n -dimensional es el conjunto de todos los puntos${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$que satisfacen la ecuación $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$$

La unidad abierta${\displaystyle n}$-bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$$ y unidad cerrada${\displaystyle n}$-bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$$

Volumen y área

La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con radio 1 y sin alteraciones en la${\displaystyle x}$- ,​${\displaystyle y}$- , o${\displaystyle z}$- ejes: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$$

El volumen de la bola unitaria en el sistema euclidiano${\displaystyle n}$El espacio y el área de la superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas importantes de análisis . El volumen de la unidad${\displaystyle n}$-bola , que denotamos${\displaystyle V_{n},}$se puede expresar haciendo uso de la función gamma . Es $${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{casos}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {si~} n\geq 0\mathrm {~es~par} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {si~} n\geq 0\mathrm {~es~impar,} \end{casos}}}$$ dónde${\displaystyle n!!}$es el factorial doble .

El hipervolumen del ⁠${\displaystyle (n-1)}$esfera unitaria dimensional ( es decir , el "área" del límite de la${\displaystyle n}$bola unitaria -dimensional ), que denotamos${\displaystyle A_{n-1},}$puede expresarse como $${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{casos}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {si~} n\geq 1\mathrm {~es~par} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {si~} n\geq 1\mathrm {~es~impar.} \end{casos}}}$$ Por ejemplo,${\displaystyle A_{0}=2}$es el "área" del límite de la bola unitaria${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$, que simplemente cuenta los dos puntos. Entonces${\displaystyle A_{1}=2\pi }$es el "área" del límite del disco unitario, que es la circunferencia del círculo unitario.${\displaystyle A_{2}=4\pi }$es el área del límite de la bola unitaria${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$, que es el área de la superficie de la esfera unitaria${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$.

Las áreas de superficie y los volúmenes para algunos valores de ⁠${\displaystyle n}$son los siguientes :

donde los valores expandidos decimales para${\displaystyle n\geq 2}$se redondean a la precisión indicada.

Recursión

El${\displaystyle A_{n}}$Los valores satisfacen la recursión: $${\displaystyle A_{0}=2}$$$${\displaystyle A_{1}=2\pi }$$$${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$$para​${\displaystyle n>1}$⁠ .

El${\displaystyle V_{n}}$Los valores satisfacen la recursión: $${\displaystyle V_{0}=1}$$$${\displaystyle V_{1}=2}$$$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$$para​${\displaystyle n>1}$⁠ .

Dimensiones reales no negativas

El valor${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$en valores reales no negativos de ⁠${\displaystyle n}$A veces se utiliza para la normalización de la medida de Hausdorff. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Otros radios

El área de superficie de un ⁠${\displaystyle (n-1)}$-esfera con radio${\displaystyle r}$es​${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$y el volumen de un ⁠${\displaystyle n}$-bola con radio${\displaystyle r}$es​${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ Por ejemplo, el área es${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$para la superficie bidimensional de la bola tridimensional de radio${\displaystyle r.}$ El volumen es${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$para la bola tridimensional de radio ⁠ ${\displaystyle r}$⁠ .

La bola unitaria abierta de un espacio vectorial normado${\displaystyle V}$con la norma${\displaystyle \|\cdot \|}$es dado por $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$$

Es el interior topológico de la bola unitaria cerrada de${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$$

Esta última es la unión disjunta de la primera y su frontera común, la esfera unitaria de${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$$

La "forma" de la bola unitaria depende completamente de la norma elegida; bien puede tener "esquinas" y, por ejemplo, puede parecerse a${\displaystyle [-1,1]^{n}}$en el caso de la norma máxima en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ . Se obtiene una bola naturalmente redonda como la bola unitaria perteneciente a la norma usual del espacio de Hilbert , basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su frontera es lo que usualmente se entiende por esfera unitaria .

Dejar ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$Defina lo habitual${\displaystyle \ell _{p}}$-norma para${\displaystyle p\geq 1}$como: $${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

Entonces${\displaystyle \|x\|_{2}}$es la norma habitual del espacio de Hilbert . ${\displaystyle \|x\|_{1}}$se denomina norma de Hamming, o${\displaystyle \ell _{1}}$-norma . La condición${\displaystyle p\geq 1}$es necesario en la definición de la${\displaystyle \ell _{p}}$norma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad triangular . Sea${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$denota la norma máxima o${\displaystyle \ell _{\infty }}$-norma de​${\displaystyle x}$⁠ .

Tenga en cuenta que para las circunferencias unidimensionales${\displaystyle C_{p}}$De las bolas unitarias bidimensionales, tenemos: $${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$$es el valor mínimo. $${\displaystyle C_{2}=2\pi }$$$${\displaystyle C_{\infty }=8}$$es el valor máximo.

• Pelota
• ⁠${\displaystyle n}$-esfera​
• Esfera
• Superelipse
• Círculo unitario
• Disco de unidad
• haz tangente unitario
• Unidad cuadrada

• Mahlon M. Day (1958) Espacios lineales normados , página 24, Springer-Verlag .
• Deza, E .; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2Reseñado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007) , pág.  57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.

• Weisstein, Eric W. "Esfera unitaria" . MundoMatemático .