Fórmulas de Frenet-Serret

Una curva espacial; los vectores $T, N, B$ ; y el plano osculador generado por $T$ y $N.$

En geometría diferencial , las fórmulas de Frenet-Serret describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional . $\mathbb {R} ^{3},$ o las propiedades geométricas de la curva misma, independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen las derivadas de los vectores unitarios denominados tangente, normal y binormal en función unos de otros. Las fórmulas reciben su nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet , en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret , en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal que se utilizan actualmente para escribir estas fórmulas aún no estaban disponibles en el momento de su descubrimiento.

Los vectores unitarios tangente, normal y binormal, a menudo llamados $T$ , $N$ y $B$ , o colectivamente la base de Frenet-Serret (o base TNB ), juntos forman una base ortonormal que abarca $\mathbb {R} ^{3},$ y se definen de la siguiente manera:

$T$ es el vector unitario tangente a la curva, que apunta en la dirección del movimiento.
$N$ es elvector unitario normal , la derivada de $T$ con respecto al parámetro de longitud de arco de la curva, dividida por su longitud.
$B$ es el vector unitario binormal, elproducto vectorial de $T$ y $N.$

La base anterior, junto con un origen en el punto de evaluación en la curva, define un marco móvil , el marco de Frenet-Serret (o marco TNB ).

Las fórmulas de Frenet-Serret son: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$ dónde ${\tfrac {d}{ds}}$ es la derivada con respecto a la longitud de arco, $κ$ es la curvatura y $τ$ es la torsión de la curva espacial. (Intuitivamente, la curvatura mide la desviación de una curva para ser una línea recta, mientras que la torsión mide la desviación de una curva para ser plana). La base $TNB$ combinada con los dos escalares , $κ$ y $τ$ , se denomina colectivamente aparato de Frenet-Serret .

Definiciones

Los vectores $T$ y $N$ en dos puntos de una curva plana.
  Una versión traducida del segundo fotograma.
  El cambio en $T : δ T'$ .
$δs$ es la distancia entre los puntos. En el límite ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ estará en la dirección $N$ y la curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

{\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}} — Los vectores $T$ y $N$ en dos puntos de una curva plana.
  Una versión traducida del segundo fotograma.
  El cambio en $T : δ T'$ .
$δs$ es la distancia entre los puntos. En el límite ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ estará en la dirección $N$ y la curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

Sea $r (t)$ una curva en el espacio euclidiano que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a curvas no degeneradas , lo que significa, aproximadamente, que tienen curvatura distinta de cero . Formalmente, en esta situación, se requiere que el vector velocidad $r' (t)$ y el vector aceleración $r'' (t)$ no sean proporcionales.

Sea $s (t)$ la longitud de arco que la partícula ha recorrido a lo largo de la curva en el tiempo $t$ . La cantidad $s$ se utiliza para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por longitud de arco (es decir, parametrización por longitud de arco ), ya que muchas trayectorias diferentes de la partícula pueden trazar la misma curva geométrica recorriéndola a diferentes velocidades. En detalle, $s$ viene dada por $s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .$ Además, dado que hemos supuesto que $r' \neq 0$ , se deduce que $s (t)$ es una función estrictamente monótona creciente. Por lo tanto, es posible despejar $t$ en función de $s$ y, así, escribir $r (s) = r (t (s))$ . De este modo, la curva se parametriza de forma preferida mediante su longitud de arco.

Con una curva no degenerada $r (s)$ , parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el marco de Frenet-Serret (o marco $TNB$ ):

El vector unitario tangente $T$ se define como $\mathbf {T$
El vector unitario normal $N$ se define como $\mathbf {N$ de donde se deduce, puesto que $T$ siempre tiene magnitud unitaria , que $N$ (el cambio de $T$ ) siempre es perpendicular a $T$ , puesto que no hay cambio en la longitud de $T.$ Nótese que al llamar curvatura $\kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|$ Obtenemos automáticamente la primera relación.

El vector unitario binormal $B$ se define como el producto vectorial de $T$ y $N$ : $\mathbf {B$

El sistema de referencia de Frenet-Serret se desplaza a lo largo de una hélice . La flecha azul representa la $T$ , la flecha roja $la N$ y la flecha negra la $B.$

De lo cual se deduce que $B$ siempre es perpendicular tanto a $T$ como $a N.$ Por lo tanto, los tres vectores unitarios $T, N y B$ son todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

donde $κ$ es la curvatura y $τ$ es la torsión .

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como teorema de Frenet-Serret y se pueden expresar de forma más concisa utilizando notación matricial: ^{[ 1 ]} ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

Esta matriz es antisimétrica .

Fórmulas en n dimensiones

Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizadas a espacios euclidianos de dimensiones superiores por Camille Jordan en 1874.

Supongamos que $r (s)$ es una curva suave en $\mathbb {R} ^{n},$ y que las primeras $n$ derivadas de $r$ son linealmente independientes. ^{[ 2 ]} Los vectores en el marco de Frenet-Serret son una base ortonormal construida aplicando el proceso de Gram-Schmidt a los vectores $(r' (s), r'' (s), ..., r (n) (s))$ .

En detalle, el vector tangente unitario es el primer vector de Frenet $e 1 (s)$ y se define como

$\mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}$

dónde

${\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)$

El vector normal , a veces llamado vector de curvatura , indica la desviación de la curva respecto a ser una línea recta. Se define como ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)$

Su forma normalizada, el vector normal unitario , es el segundo vector de Frenet $e 2 (s)$ y se define como

$\mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}$

La tangente y el vector normal en el punto $s$ definen el plano osculador en el punto $r (s)$ .

Los vectores restantes en el marco (el binormal, el trinormal, etc.) se definen de manera similar por

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}

El último vector del marco se define mediante el producto vectorial de los primeros $n - 1$ vectores: $\mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)$

Estrictamente hablando, el producto vectorial se define solo para tres dimensiones. Su generalización se obtiene a partir del producto exterior. $\wedge$ y el Hodge dual $\star$ en álgebra exterior . $\mathbf {e} _ {n}(s)$ es el dual de Hodge del vector (n-1) $\mathbf {e} _{1}(s)\,\wedge \,\mathbf {e} _{2}(s)\,\wedge \,{\text{...}}\,\wedge \,\mathbf {e} _{n-2}(s)\wedge \mathbf {e} _{n-1}(s)$ .

Más sencillamente, $\mathbf {e} _ {n}(s)$ es el vector unitario que es ortogonal a $\mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n-1}(s)\}$ y eso hace $\mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n}(s)\}$ tienen la orientación estándar.

Las funciones de valor real utilizadas a continuación $χ i (s)$ se denominan curvatura generalizada y se definen como

$\chi _{i}(s)=\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle$

Las fórmulas de Frenet-Serret , expresadas en lenguaje matricial, son:

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}$

Nótese que, tal como se definen aquí, las curvaturas generalizadas y el marco pueden diferir ligeramente de la convención que se encuentra en otras fuentes. La curvatura superior $χ n -1$ (también llamada torsión, en este contexto) y el último vector en el marco $e n$ , difieren en un signo (dado por la orientación de la base ordenada). $\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}$ ) de la torsión usual. Las fórmulas de Frenet-Serret son invariantes al invertir el signo tanto de $χ n -1$ como $de e n$ , y este cambio de signo hace que el marco esté orientado positivamente. Como se definió anteriormente, el marco hereda su orientación del jet de $r$ .

Demostración de las fórmulas de Frenet-Serret

La primera fórmula de Frenet-Serret se cumple por la definición de la normal $N$ y la curvatura $κ$ , y la tercera fórmula de Frenet-Serret se cumple por la definición de la torsión $τ$ . Por lo tanto, lo que se necesita es demostrar la segunda fórmula de Frenet-Serret.

Dado que $T, N, B$ son vectores unitarios ortogonales con $B = T \times N$ , también se tiene $T = N \times B$ y $N = B \times T.$ Al diferenciar la última ecuación con respecto a $s$ se obtiene

${\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)$

Usando eso ${\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N}$ y ${\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,$ esto se convierte en

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}$

Esta es precisamente la segunda fórmula de Frenet-Serret.

Prueba alternativa

Definir ${\frac {d\,\mathbf {T} }{d\,s}}=\kappa \,\mathbf {N}$ Aquí $\mathbf {N}$ es un vector unitario que es ortogonal a $\mathbf {T}$ de modo que ${\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )\,=\,0$ Esto garantiza que la longitud de $\mathbf {T}$ no cambia.

Desde $\mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B}$ son una base ortonormal: ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {N} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\end{aligned}}$ Dejar ${\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=a\,\mathbf {T} +b\,\mathbf {N} +c\,\mathbf {B}$ donde a, b, c deben determinarse. Esta es la forma más general. Estas ecuaciones dan ${\begin{aligned}a+\kappa \,&=\,0\\b\,&=\,0\end{aligned}}$ Esto da ${\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=-\kappa \,\mathbf {T} +c\,\mathbf {B}$

De manera similar, dejemos ${\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}}=d\,\mathbf {T} +e\,\mathbf {N} +f\,\mathbf {B}$ donde d, e, f también deben determinarse. Esta es, de nuevo, la forma más general. Ortonormalidad de $\mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B}$ implica ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {T} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )\,&=\,0\end{aligned}}$

De estas ecuaciones se deduce que ${\begin{aligned}d\,&=\,0\\e+c\,&=\,0\\f\,&=\,0\;\Rightarrow \\\mathbf {\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}} \,&=\,-c\,\mathbf {N} \end{aligned}}$ Dejar $c\rightarrow \tau$ y se obtienen las fórmulas de Frenet-Serret.

Aplicaciones e interpretación

Cinemática del marco

El marco de Frenet-Serret moviéndose a lo largo de una hélice en el espacio

El sistema de coordenadas de Frenet-Serret, formado por la tangente $T$ , la normal $N$ y la binormal $B,$ constituye una base ortonormal del espacio tridimensional. En cada punto de la curva, se le asocia un sistema de referencia o de coordenadas rectilíneas (véase la imagen).

Las fórmulas de Frenet-Serret admiten una interpretación cinemática . Imaginemos que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, utilizando el sistema de referencia en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas de Frenet-Serret implican que este sistema de coordenadas rota constantemente a medida que el observador se mueve a lo largo de la curva. Por lo tanto, este sistema de coordenadas es siempre no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector de Darboux del sistema de referencia.

Concretamente, supongamos que el observador lleva consigo una peonza (o giroscopio ) inercial a lo largo de la curva. Si el eje de la peonza apunta a lo largo de la tangente a la curva, se observará que gira sobre su eje con una velocidad angular −τ con respecto al sistema de coordenadas no inercial del observador. Si, por el contrario, el eje de la peonza apunta en la dirección binormal, se observará que gira con una velocidad angular −κ. Esto se visualiza fácilmente en el caso en que la curvatura es una constante positiva y la torsión es nula. El observador se encuentra entonces en movimiento circular uniforme . Si la peonza apunta en la dirección binormal, entonces, por conservación del momento angular, debe girar en la dirección opuesta al movimiento circular. En el caso límite en que la curvatura es nula, la normal del observador precesa alrededor del vector tangente, y de forma similar, la peonza girará en la dirección opuesta a esta precesión.

El caso general se ilustra a continuación . En Wikimedia encontrará más ilustraciones .

Aplicaciones

La cinemática del armazón tiene muchas aplicaciones en las ciencias.

En las ciencias de la vida , particularmente en los modelos de movimiento microbiano, se han utilizado consideraciones del marco de Frenet-Serret para explicar el mecanismo por el cual un organismo en movimiento en un medio viscoso cambia su dirección. ^{[ 3 ]}
En física, el sistema de referencia de Frenet-Serret resulta útil cuando es imposible o inconveniente asignar un sistema de coordenadas natural a una trayectoria. Este suele ser el caso, por ejemplo, en la teoría de la relatividad . En este contexto, los sistemas de referencia de Frenet-Serret se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitatorio. ^{[ 4 ]}

Ilustraciones gráficas

Ejemplo de una base de Frenet móvil ( $T$ en azul, $N$ en verde, $B$ en morado) a lo largo de la curva de Viviani .

Tomando como ejemplo un nudo toroidal , se muestran el vector tangente $T$ , el vector normal $N$ y el vector binormal $B$ , junto con la curvatura $κ (s)$ y la torsión $τ (s)$ . En los picos de la función de torsión, se observa claramente la rotación del sistema de coordenadas de Frenet-Serret $(T, N, B)$ alrededor del vector tangente.

La importancia cinemática de la curvatura se ilustra mejor con curvas planas (con torsión constante igual a cero). Consulte la página sobre la curvatura de curvas planas .

Fórmulas de Frenet-Serret en cálculo

Las fórmulas de Frenet-Serret se introducen frecuentemente en cursos de cálculo multivariable como complemento al estudio de curvas espaciales como la hélice . Una hélice se puede caracterizar por la altura $2π h$ y el radio $r$ de una sola vuelta. La curvatura y la torsión de una hélice (con radio constante) vienen dadas por las fórmulas ${\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}$

El signo de la torsión está determinado por el sentido diestro o zurdo en el que la hélice gira alrededor de su eje central. Explícitamente, la parametrización de una sola vuelta de una hélice dextrógira con altura $2π h$ y radio $r$ es ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}$ y, para una hélice zurda, ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}$ Tenga en cuenta que estas no son las parametrizaciones de longitud de arco (en cuyo caso, cada uno de $x, y, z$ tendría que dividirse por ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$ .)

En sus escritos expositivos sobre la geometría de las curvas, Rudy Rucker ^{[ 5 ]} emplea el modelo de un muelle para explicar el significado de la torsión y la curvatura. El muelle, dice, se caracteriza por la propiedad de que la cantidad $A^{2}=h^{2}+r^{2}$ La torsión permanece constante si el muelle se estira verticalmente a lo largo de su eje central. (Aquí, $2π h$ es la altura de una sola torsión del muelle y $r$ el radio). En particular, la curvatura y la torsión son complementarias, ya que la torsión puede aumentarse a expensas de la curvatura al estirar el muelle.

expansión de Taylor

Al diferenciar repetidamente la curva y aplicar las fórmulas de Frenet-Serret se obtiene la siguiente aproximación de Taylor a la curva cerca de $s = 0$ si la curva está parametrizada por la longitud de arco: ^{[ 6 ]} $\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

Para una curva genérica con torsión no nula, la proyección de la curva sobre varios planos de coordenadas en el sistema de coordenadas $T, N, B en$ s = 0 tiene las siguientes interpretaciones:

El plano osculador es el plano que contiene $a T$ y $N.$ La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma: $\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$ Se trata de una $parábola$ con una precisión de orden $O (s²)$ , cuya curvatura en 0 es igual a $κ (0)$ . El plano osculador posee la propiedad especial de que la distancia de la curva al plano osculador es $O (s³)$ , mientras que la distancia de la curva a cualquier otro plano no es mejor que $O (s²) . Esto se puede observar en el desarrollo de Taylor anterior. Por lo tanto, en cierto sentido$ $,$ el plano osculador es el plano más cercano a la curva en un punto dado.
El plano normal es el plano que contiene $a N$ y $B.$ La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma: $\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$ que es una cúbica cuspidal de orden $o (s 3)$ .
El plano rectificador es el plano que contiene $a T$ y $B.$ La proyección de la curva sobre este plano es: $\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$ que traza la gráfica de un polinomio cúbico de orden $o (s 3)$ .

Cintas y tubos

Una cinta definida por una curva de torsión constante y una curvatura altamente oscilante. La parametrización de la longitud de arco de la curva se definió mediante la integración de las ecuaciones de Frenet-Serret.

El aparato de Frenet-Serret permite definir ciertas cintas y tubos óptimos centrados en una curva. Estos tienen diversas aplicaciones en la ciencia de los materiales y la teoría de la elasticidad , ^{[ 7 ]} así como en los gráficos por computadora . ^{[ 8 ]}

La cinta de Frenet ^{[ 9 ]} a lo largo de una curva $C$ es la superficie trazada al barrer el segmento de línea $[$ $-N, N] generado$ por la normal unitaria a lo largo de la curva. Esta superficie a veces se confunde con la tangente desarrollable , que es la envolvente $E$ de los planos osculadores de $C.$ Esto se debe quizás a que tanto la cinta de Frenet como $E$ presentan propiedades similares a lo largo de $C.$ Es decir, los planos tangentes de ambas hojas de $E$ , cerca del lugar singular $C$ donde estas hojas se intersecan, se aproximan a los planos osculadores de $C$ ; los planos tangentes de la cinta de Frenet a lo largo de $C$ son iguales a estos planos osculadores. La cinta de Frenet, en general, no es desarrollable.

Congruencia de curvas

En la geometría euclidiana clásica , interesa estudiar las propiedades de las figuras planas que son invariantes bajo congruencia, de modo que si dos figuras son congruentes, deben tener las mismas propiedades. El aparato de Frenet-Serret presenta la curvatura y la torsión como invariantes numéricas de una curva espacial.

En términos generales, dos curvas $C$ y $C'$ en el espacio son congruentes si una puede moverse rígidamente hacia la otra. Un movimiento rígido consiste en una combinación de traslación y rotación. Una traslación mueve un punto de $C$ a un punto de $C'$ . La rotación ajusta la orientación de la curva $C$ para que coincida con la de $C'$ . Esta combinación de traslación y rotación se denomina movimiento euclidiano . En términos de la parametrización $r (t)$ que define la primera curva $C$ , un movimiento euclidiano general de $C$ es una composición de las siguientes operaciones:

( Traducción ) $r (t) \to r (t) + v$ , donde $v$ es un vector constante.
( Rotación ) $r (t) + v \to M (r (t) + v)$ , donde $M$ es la matriz de una rotación.

El marco de Frenet-Serret se comporta particularmente bien con respecto a los movimientos euclidianos. Primero, dado que $T$ , $N$ y $B$ pueden expresarse como derivadas sucesivas de la parametrización de la curva, cada uno de ellos es insensible a la adición de un vector constante a $r (t)$ . Intuitivamente, el marco $TNB$ asociado a $r (t)$ es el mismo que el marco $TNB$ asociado a la nueva curva $r (t) + v$ .

Esto deja solo las rotaciones por considerar. Intuitivamente, si aplicamos una rotación $M$ a la curva, entonces el marco $TNB$ también rota. Más precisamente, la matriz $Q$ cuyas filas son los vectores $TNB$ del marco de Frenet-Serret cambia por la matriz de una rotación.

$Q\rightarrow QM.$

A fortiori , la matriz ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$ no se ve afectado por una rotación:

${\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }$

ya que $MM T = I$ para la matriz de una rotación.

Por lo tanto, las entradas $κ$ y $τ$ de ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$ son invariantes de la curva bajo movimientos euclidianos: si se aplica un movimiento euclidiano a una curva, entonces la curva resultante tiene la misma curvatura y torsión.

Además, utilizando el marco de Frenet-Serret, también se puede demostrar lo contrario: dos curvas cualesquiera con las mismas funciones de curvatura y torsión deben ser congruentes mediante un movimiento euclidiano. En términos generales, las fórmulas de Frenet-Serret expresan la derivada de Darboux del marco $TNB$ . Si las derivadas de Darboux de dos marcos son iguales, entonces una versión del teorema fundamental del cálculo afirma que las curvas son congruentes. En particular, la curvatura y la torsión constituyen un conjunto completo de invariantes para una curva en tres dimensiones.

Otras expresiones del marco

Las fórmulas dadas anteriormente para $T$ , $N$ y $B$ dependen de que la curva se exprese en términos del parámetro de longitud de arco. Esta es una suposición natural en la geometría euclidiana , ya que la longitud de arco es un invariante euclidiano de la curva. En la terminología de la física, la parametrización de la longitud de arco es una elección natural de calibre . Sin embargo, puede resultar engorroso trabajar con ella en la práctica. Existen otras expresiones equivalentes.

Supongamos que la curva está dada por $r (t)$ , donde el parámetro $t$ ya no necesita ser la longitud de arco. Entonces el vector tangente unitario $T$ puede escribirse como

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

El vector normal $N$ toma la forma

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}$

Usando eso $\mathbf {r} '(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|\mathbf {T} (t)$ y la fórmula de aceleración $\mathbf {r} ''(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|'\mathbf {T} +\kappa \|\mathbf {r} '(t)\|^{2}\mathbf {N}$ El vector binormal $B$ viene dado entonces por

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}$

Una forma alternativa de llegar a las mismas expresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva $r' (t), r'' (t), r''' (t)$ , y aplicar el proceso de Gram-Schmidt . La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco $TNB$ . Este procedimiento también se generaliza para producir marcos de Frenet en dimensiones superiores.

En términos del parámetro $t$ , las fórmulas de Frenet-Serret toman un factor adicional de $|| r' (t)||$ debido a la regla de la cadena :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}$

Se pueden calcular expresiones explícitas para la curvatura y la torsión. Por ejemplo,

$\kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}$

La torsión se puede expresar utilizando un producto triple escalar de la siguiente manera:

$\tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}$

Casos especiales

Si la curvatura es siempre cero, la curva será una línea recta. En este caso, los vectores $N, B$ y la torsión no están bien definidos.

Si la torsión es siempre cero, entonces la curva estará en un plano.

Una curva puede tener curvatura distinta de cero y torsión cero. Por ejemplo, el círculo de radio $R$ dado por $r (t) = (R cos t, R sin t, 0)$ en el plano $z = 0$ tiene torsión cero y curvatura igual a $1/ R$ . Sin embargo, lo contrario es falso. Es decir, una curva regular con torsión distinta de cero debe tener curvatura distinta de cero. Esto es simplemente la contrapositiva del hecho de que curvatura cero implica torsión cero.

Una hélice tiene curvatura constante y torsión constante.

Curvas planas

Si una curva ${\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle$ Si está contenido en el plano $xy$ , entonces su vector tangente $\mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}$ y vector normal unitario principal $\mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}$ También se encontrará en el plano $xy$ . Como resultado, el vector binormal unitario $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$ es perpendicular al plano $xy y por lo tanto debe ser o$ $\langle 0,0,1\rangle$ o $\langle 0,0,-1\rangle$ . Por la regla de la mano derecha, $B$ será $\langle 0,0,1\rangle$ si, vista desde arriba, la trayectoria de la curva gira hacia la izquierda, y será $\langle 0,0,-1\rangle$ si gira hacia la derecha. Como resultado, la torsión $τ$ siempre será cero y la fórmula ${\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}$ para la curvatura $κ$ se convierte en $\kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}$

Véase también

Notas

↑ Kühnel 2002 , §1.9
↑ Solo los primeros $n - 1$ necesitan ser linealmente independientes, ya que el vector de marco final restante $e n$ puede elegirse como el vector unitario ortogonal al espacio generado por los demás, de modo que el marco resultante esté orientado positivamente.
↑ Crenshaw (1993).
^ Iyer y Vishveshwara (1993).
↑ Rucker, Rudy (1999). "Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves" . Universidad Estatal de San José. Archivado del original el 15 de octubre de 2004.
↑ Kühnel 2002 , pág. 19
↑ Goriely et al. (2006).
↑ Hanson.
↑ Para la terminología, véase Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. págs. 252-254 . ISBN 9780135271506.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .

Referencias

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Enlaces externos

Crea tus propias ilustraciones animadas de marcos de Frenet-Serret en movimiento, funciones de curvatura y torsión ( Hoja de trabajo de Maple ).
El artículo de Rudy Rucker sobre KappaTau .
Muy buena representación visual del triedro.

[1] Kühnel 2002 , §1.9

[2] Solo los primeros $n - 1$ necesitan ser linealmente independientes, ya que el vector de marco final restante $e n$ puede elegirse como el vector unitario ortogonal al espacio generado por los demás, de modo que el marco resultante esté orientado positivamente.

[3] Crenshaw (1993).

[4] Iyer y Vishveshwara (1993).

[rucker-5] Rucker, Rudy (1999). "Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves" . Universidad Estatal de San José. Archivado del original el 15 de octubre de 2004.

[6] Kühnel 2002 , pág. 19

[7] Goriely et al. (2006).

[8] Hanson.

[9] Para la terminología, véase Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. págs. 252-254 . ISBN 9780135271506.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .

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