Categoría de tensor modular unitario

En matemáticas , una categoría tensorial modular unitaria es un tipo específico de estructura algebraica , definida al dotar a una categoría tensorial modular de datos adicionales que reflejan el principio de unitariedad en mecánica cuántica. Las categorías tensoriales modulares unitarias son relevantes para la teoría algebraica de la información cuántica topológica, ya que, según conjeturas, proporcionan una descripción completa de las propiedades algebraicas de los aniones en sistemas bidimensionales con orden topológico . ^{[ 1 ]}

Matemáticamente, una categoría tensorial modular unitaria se define como una categoría tensorial modular en la que todos los espacios de hom están equipados con productos internos , compatibles entre sí y con las estructuras adicionales de la categoría tensorial modular. ^{[ 2 ]} A nivel de esqueletización , una categoría tensorial modular unitaria tiene la misma estructura que una categoría tensorial modular, excepto que los símbolos F y R deben ensamblarse en matrices unitarias . Las transformaciones de calibre permitidas en una categoría tensorial modular unitaria deben ser cambios de base unitarios . ^{[ 2 ]}

Es importante destacar que, si una categoría tensorial modular admite una estructura unitaria, entonces es un teorema de David Reutter que esta estructura unitaria es única. ^{[ 3 ]} Esto significa que, aunque la unitariedad se define como una estructura, puede tratarse como una propiedad. Desde un punto de vista físico, se espera que todas las categorías tensoriales modulares que surgen del orden topológico sean categorías tensoriales modulares unitarias. ^{[ 4 ]} De hecho, se cree que toda categoría tensorial modular unitaria debería describir el contenido de aniones de alguna fase topológica. ^{[ 5 ]} Toda categoría de fusión unitaria admite una estructura esférica canónica heredada del producto interno en sus espacios de hom. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, no hay distinción entre "categoría de fusión unitaria" y "categoría de fusión esférica unitaria". Así, una categoría tensorial modular unitaria puede definirse como una categoría de fusión trenzada unitaria, sin referencia a la estructura esférica.