Transformación unitaria

En matemáticas, una transformación unitaria es un isomorfismo lineal que conserva el producto interno : el producto interno de dos vectores antes de la transformación es igual a su producto interno después de la transformación. ^{[ 1 ]}

Más precisamente, una transformación unitaria es un isomorfismo isométrico entre dos espacios con producto interno (como los espacios de Hilbert ). En otras palabras, una transformación unitaria es una función biyectiva.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

entre dos espacios de producto internos,${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2},}$de tal manera que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ para todos }}x,y\in H_{1}.}$

Se trata de una isometría lineal , como se puede observar al establecer${\displaystyle x=y.}$

En el caso de que${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$son el mismo espacio, una transformación unitaria es un automorfismo de ese espacio de Hilbert, y entonces también se le llama operador unitario .

Una noción estrechamente relacionada es la de transformación antiunitaria , que es una función biyectiva.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

entre dos espacios de Hilbert complejos tales que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle H_{1}}$, donde la barra horizontal representa el conjugado complejo .

• Antiunitario
• Transformación ortogonal
• inversión del tiempo
• Grupo unitario
• Operador unitario
• Matriz unitaria
• Teorema de Wigner
• Transformaciones unitarias en mecánica cuántica