Función univalente

En matemáticas , en la rama del análisis complejo , una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La función${\displaystyle f\dos puntos z\mapsto 2z+z^{2}}$es univalente en el disco de unidad abierta, como${\displaystyle f(z)=f(w)}$implica que${\displaystyle f(z)-f(w)=(zw)(z+w+2)=0}$. Como el segundo factor no es cero en el disco de la unidad abierta,${\displaystyle z=w}$entonces${\displaystyle f}$es inyectivo.

Se puede demostrar que si${\displaystyle G}$y${\displaystyle \Omega }$son dos conjuntos abiertos conexos en el plano complejo, y

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

es una función univalente tal que${\displaystyle f(G)=\Omega }$(eso es,${\displaystyle f}$es sobreyectiva ), entonces la derivada de${\displaystyle f}$nunca es cero,${\displaystyle f}$es invertible y su inversa${\displaystyle f^{-1}}$También es holomorfo. Además, se tiene por la regla de la cadena

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

a pesar de${\displaystyle z}$en${\displaystyle G.}$

Para las funciones analíticas reales , a diferencia de las funciones analíticas complejas (es decir, holomorfas), estas afirmaciones no se cumplen. Por ejemplo, considérese la función

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

dado por${\displaystyle f(x)=x^{3}}$Esta función es claramente inyectiva, pero su derivada es 0 en${\displaystyle x=0}$y su inversa no es analítica, ni siquiera diferenciable, en todo el intervalo.${\displaystyle (-1,1)}$. En consecuencia, si ampliamos el dominio a un subconjunto abierto${\displaystyle G}$del plano complejo, debe no ser inyectiva; y este es el caso, puesto que (por ejemplo)${\displaystyle f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )}$(dónde${\displaystyle \omega }$es una raíz cúbica primitiva de la unidad y${\displaystyle \varepsilon }$es un número real positivo menor que el radio de${\displaystyle G}$como barrio de${\displaystyle 0}$).

• Mapeo biholomórfico : función holomorfa biyectiva con una inversa holomorfa. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Teorema de De Branges – Enunciado en análisis complejo; anteriormente conocido como la conjetura de Bieberbach. 
• Teorema del cuarto de Koebe – Declaración en análisis complejo 
• Teorema de mapeo de Riemann – Teorema matemático 
• Criterio de Nevanlinna : Caracterización de funciones holomorfas univalentes con forma de estrella 

• Conway, John B. (1995). "Conformal Equivalence for Simply Connected Regions" . Functions of One Complex Variable II . Graduate Texts in Mathematics. Vol.  159. doi : 10.1007/978-1-4612-0817-4 . ISBN 978-1-4612-6911-3.
• «Funciones Univalentes» . Fuentes en el Desarrollo de las Matemáticas . 2011. págs. 907–928 . doi : 10.1017/CBO9780511844195.041 . ISBN  9780521114707.
• Düren, PL (1983). Funciones Univalentes . Springer Nueva York, Nueva York. pag.  XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0.
• Gong, Sheng (1998). Aplicaciones convexas y estrelladas en varias variables complejas . doi : 10.1007/978-94-011-5206-8 . ISBN 978-94-010-6191-9.
• Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "Una observación sobre la holomorfía separada" . Studia Mathematica . 174 (3): 309– 317. arXiv : math/0507305 . doi : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID 15660985 . 
• Nehari, Zeev (1975). Mapeo conforme . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag.  146.ISBN​ 0-486-61137-XOCLC 1504503​​ 

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