ecuación diferencial universal

Una ecuación diferencial universal ( EDU ) es una ecuación algebraica diferencial no trivial con la propiedad de que sus soluciones pueden aproximar cualquier función continua en cualquier intervalo de la recta real con cualquier nivel de precisión deseado.

Precisamente, una ecuación diferencial (posiblemente implícita)${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$es una UDE si para cualquier función continua de valor real${\displaystyle f}$y para cualquier función continua positiva${\displaystyle \varepsilon }$Existe una solución sencilla${\displaystyle y}$de${\displaystyle P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0}$con ${\displaystyle |y(x)-f(x)|<\varepsilon (x)}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. ^{[ 1 ]}

La existencia de una UDE se consideró inicialmente como un análogo de la máquina de Turing universal para computadoras analógicas, debido a un resultado de Shannon que identifica las salidas de la computadora analógica de propósito general con las soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas. ^{[ 1 ]} Sin embargo, a diferencia de las máquinas de Turing universales, las UDE no dictan la evolución de un sistema, sino que establecen ciertas condiciones que cualquier evolución debe cumplir. ^{[ 2 ]}

• Rubel encontró la primera UDE conocida en 1981. Está dada por la siguiente ecuación diferencial implícita de cuarto orden: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle 3y^{\prime 4}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime 2}-4y^{\prime 4}y^{\prime \prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime \prime }+6y^{\prime 3}y^{\prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime }+24y^{\prime 2}y^{\prime \prime 4}y^{\prime \prime \prime \prime }-12y^{\prime 3}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime 3}-29y^{\prime 2}y^{\prime \prime 3}y^{\prime \prime \prime 2}+12y^{\prime \prime 7}=0}$
• Duffin obtuvo una familia de UDE dada por: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle n^{2}y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+3n(1-n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+\left(2n^{2}-3n+1\right)y^{\prime \prime 3}=0}$y${\displaystyle ny^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+(2-3n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2(n-1)y^{\prime \prime 3}=0}$, cuyas soluciones son de clase${\displaystyle C^{n}}$para n > 3.

• Briggs propuso otra familia de UDE cuya construcción se basa en funciones elípticas de Jacobi : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}-3y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2\left(1-n^{-2}\right)y^{\prime \prime 3}=0}$, donde n > 3.

• Bournez y Pouly demostraron la existencia de un campo vectorial polinomial fijo p tal que para cualquier f y ε existe alguna condición inicial de la ecuación diferencial y' = p(y) que produce una solución única y analítica que satisface | y ( x ) − f ( x )| < ε ( x ) para todo x en R . ^{[ 2 ]}

• Universalidad de la función zeta
• Teorema de Hölder

• Página de Wolfram Mathworld sobre UDE