Teorema de incrustación universal

El teorema de incrustación universal , o teorema de incrustación universal de Krasner-Kaluznin , es un teorema de la disciplina matemática de la teoría de grupos publicado por primera vez en 1951 por Marc Krasner y Lev Kaluznin . ^{[ 1 ]} El teorema establece que cualquier extensión de un grupo H por un grupo A es isomorfa a un subgrupo del producto de corona regular A  Wr H.  El teorema recibe su nombre del hecho de que se dice que el grupo A Wr  H es  universal con respecto a todas las extensiones de H por A.

Sean H y A grupos, sea K  = A ^H  el conjunto de todas las funciones de H a A , y consideremos la acción de H sobre sí mismo mediante la multiplicación. Esta acción se extiende naturalmente a una acción de H sobre K , definida como${\displaystyle (h\cdot \phi )(g)=\phi (h^{-1}g),}$dónde${\displaystyle \phi \in K,}$y g y h están ambos en H. Este es un automorfismo de K , por lo que podemos construir el producto semidirecto K  ⋊ H  , que se denomina producto de corona regular y se denota A  Wr H  o${\displaystyle A\wr H.}$El grupo K  = A ^H  (que es isomorfo a${\displaystyle \{(\phi ,1)\in A\wr H:\phi \in K\}}$) se denomina grupo base del producto de la corona.

El teorema de incrustación universal de Krasner-Kaloujnine establece que si G tiene un subgrupo normal A y H  = G / A ,  entonces existe un homomorfismo inyectivo de grupos.${\displaystyle \theta :G\to A\wr H}$de tal manera que A se mapea sobreyectivamente sobre${\displaystyle {\text{im}}(\theta )\cap K.}$^{[ 2 ]} Esto es equivalente a que el producto de coronaA WrH tenga un subgrupo isomorfo aG,dondeGes cualquier extensión deHporA.

Esta prueba proviene de Dixon–Mortimer. ^{[ 3 ]}

Definir un homomorfismo${\displaystyle \psi :G\to H}$cuyo núcleo es A. Elija un conjunto${\displaystyle T=\{t_{u}:u\in H\}}$de representantes de clases laterales (derechas) de A en G , donde${\displaystyle \psi (t_{u})=u.}$Entonces, para todo x en G ,${\displaystyle t_{u}^{-1}xt_{\psi (x)^{-1}u}\in \ker \psi =A.}$Para cada x en G , definimos una función${\displaystyle f_{x}:H\to A}$de tal manera que${\displaystyle f_{x}(u)=t_{u}^{-1}xt_{\psi (x)^{-1}u}.}$Luego la incrustación${\displaystyle \theta }$es dado por${\displaystyle \theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.}$

Ahora demostramos que esto es un homomorfismo. Si x e y están en G , entonces${\displaystyle \theta (x)\theta (y)=(f_{x}(\psi (x).f_{y}),\psi (xy)).}$Ahora${\displaystyle \psi (x).f_{y}(u)=f_{y}(\psi (x)^{-1}u),}$así que para todo u en H ,

${\displaystyle f_{x}(u)(\psi (x).f_{y}(u))=t_{u}^{-1}xt_{\psi (x)^{-1}u}t_{\psi (x)^{-1}u}^{-1}yt_{\psi (y)^{-1}\psi (x)^{-1}u}=t_{u}xyt_{\psi (xy)^{-1}u}^{-1},}$

Entonces f _x f _y = f _xy .    Por lo tanto${\displaystyle \theta }$es un homomorfismo como se requiere.

El homomorfismo es inyectivo. Si${\displaystyle \theta (x)=\theta (y),}$entonces tanto f _x ( u )  = f _y ( u )  (para todo u ) como${\displaystyle \psi (x)=\psi (y).}$Entonces${\displaystyle t_{u}^{-1}xt_{\psi (x)^{-1}u}=t_{u}^{-1}yt_{\psi (y)^{-1}u},}$pero podemos cancelar${\displaystyle t_{u}^{-1}}$y${\displaystyle t_{\psi (x)^{-1}u}=t_{\psi (y)^{-1}u}}$de ambos lados, por lo tanto x  = y ,  por lo tanto${\displaystyle \theta }$es inyectivo. Finalmente,${\displaystyle \theta (x)\in K}$precisamente cuando${\displaystyle \psi (x)=1,}$en otras palabras cuando${\displaystyle x\in A}$(como${\displaystyle A=\ker \psi }$).

• El teorema de Krohn-Rhodes es un enunciado similar al teorema de inmersión universal, pero para semigrupos . Un semigrupo S es divisor de un semigrupo T si es la imagen de un subsemigrupo de T bajo un homomorfismo. El teorema establece que todo semigrupo finito S es divisor de un producto de corona alternante finito de grupos simples finitos (cada uno de los cuales es divisor de S ) y semigrupos aperiódicos finitos .
• Existe una versión alternativa del teorema que solo requiere un grupo G y un subgrupo A (no necesariamente normal). ^{[ 4 ]} En este caso, G es isomorfo a un subgrupo del producto de corona regular A  Wr  ( G /Core( A )).

• Dixon, John; Mortimer, Brian (1996). Grupos de permutaciones . Springer. ISBN 978-0387945996.
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951a). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos II" . Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 39– 66. Archivado desde el original el 19 de noviembre de 2024 . Consultado el 7 de julio de 2019 .
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951b). "Producto completo de grupos de permutaciones y el problema de extensión de grupos III" . Acta de ciencia. Matemáticas. Szeged . 14 : 69-82 .
• Praeger, Cheryl; Schneider, Csaba (2018). Grupos de permutación y descomposiciones cartesianas . Cambridge University Press. ISBN 978-0521675062.