Kriging de regresión

En estadística aplicada y geoestadística , el kriging de regresión ( RK ) es una técnica de predicción espacial que combina una regresión de la variable dependiente sobre variables auxiliares (como parámetros derivados de modelos digitales de elevación, teledetección /imágenes y mapas temáticos) con la interpolación ( kriging ) de los residuos de la regresión. Es matemáticamente equivalente al método de interpolación denominado kriging universal y kriging con deriva externa , donde los predictores auxiliares se utilizan directamente para resolver los pesos del kriging. ^{[ 1 ]}

El kriging de regresión es una implementación del mejor predictor lineal insesgado (BLUP) para datos espaciales, es decir, el mejor interpolador lineal que asume el modelo universal de variación espacial . Matheron (1969) propuso que un valor de una variable objetivo en alguna ubicación puede modelarse como una suma de los componentes deterministas y estocásticos: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Z(\mathbf {s} )=m(\mathbf {s} )+\varepsilon '(\mathbf {s} )+\varepsilon ''}$

que denominó modelo universal de variación espacial . Tanto los componentes deterministas como los estocásticos de la variación espacial pueden modelarse por separado. Al combinar ambos enfoques, obtenemos:

${\displaystyle {\hat {z}}(\mathbf {s} _{0})={\hat {m}}(\mathbf {s} _{0})+{\hat {e}}(\mathbf {s} _{0})=\sum \limits _{k=0}^{p}{{\hat {\beta }}_{k}\cdot q_{k}(\mathbf {s} _{0})}+\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot e(\mathbf {s} _{i})}$

dónde${\displaystyle {\hat {m}}(\mathbf {s} _{0})}$es la parte determinista ajustada,${\displaystyle {\hat {e}}(\mathbf {s} _{0})}$es el residuo interpolado,${\displaystyle {\hat {\beta }}_{k}}$son coeficientes estimados del modelo determinista (${\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}}$es la intersección estimada),${\displaystyle \lambda _{i}}$son los pesos de kriging determinados por la estructura de dependencia espacial del residuo y donde${\displaystyle e(\mathbf {s} _{i})}$es el residuo en la ubicación${\displaystyle {\mathbf {s} }_{i}}$. Los coeficientes de regresión${\displaystyle {\hat {\beta }}_{k}}$puede estimarse a partir de la muestra mediante algún método de ajuste, por ejemplo, mínimos cuadrados ordinarios (MCO) o, de forma óptima, utilizando mínimos cuadrados generalizados (MCG): ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {\hat {\beta }} _{\mathtt {GLS}}=\left(\mathbf {q} ^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {q} \right)^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {q} ^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {z} }$

dónde${\displaystyle \mathbf {\hat {\beta }} _{\mathtt {GLS}}}$es el vector de coeficientes de regresión estimados,${\displaystyle \mathbf {C} }$es la matriz de covarianza de los residuos,${\displaystyle {\mathbf {q} }}$es una matriz de predictores en las ubicaciones de muestreo y${\displaystyle \mathbf {z} }$es el vector de valores medidos de la variable objetivo. La estimación de mínimos cuadrados generalizados (GLS) de los coeficientes de regresión es, de hecho, un caso especial de regresión ponderada geográficamente. En este caso, las ponderaciones se determinan objetivamente para tener en cuenta la autocorrelación espacial entre los residuos.

Una vez estimada la parte determinista de la variación (parte de regresión), el residuo puede interpolarse mediante kriging y sumarse a la tendencia estimada. La estimación de los residuos es un proceso iterativo: primero se estima la parte determinista de la variación mediante MCO, luego se utiliza la función de covarianza de los residuos para obtener los coeficientes de MCG. A continuación, estos se utilizan para recalcular los residuos, a partir de los cuales se calcula una función de covarianza actualizada, y así sucesivamente. Aunque muchos geoestadísticos recomiendan este procedimiento como el adecuado, Kitanidis (1994) demostró que el uso de la función de covarianza derivada de los residuos de MCO (es decir, una sola iteración) suele ser satisfactorio, ya que no difiere lo suficiente de la función derivada tras varias iteraciones; es decir, no afecta mucho a las predicciones finales. Minasny y McBratney (2007) informan de resultados similares: parece que utilizar más datos de mayor calidad es más importante que utilizar métodos estadísticos más sofisticados. ^{[ 4 ]}

En notación matricial, el kriging de regresión se escribe comúnmente como: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\hat {z}}_{\mathtt {RK}}(\mathbf {s} _{0})=\mathbf {q} _{\mathbf {0} }^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {\hat {\beta }} _{\mathtt {GLS}}+\mathbf {\lambda } _{\mathbf {0} }^{\mathbf {T} }\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {q} \cdot \mathbf {\hat {\beta }} _{\mathtt {GLS}})}$

dónde${\displaystyle {\hat {z}}({\mathbf {s} }_{0})}$es el valor previsto en la ubicación${\displaystyle {\mathbf {s} }_{0}}$,${\displaystyle {\mathbf {q} }_{\mathbf {0} }}$es el vector de${\displaystyle p+1}$predictores y${\displaystyle \mathbf {\lambda } _{\mathbf {0} }}$es el vector de${\displaystyle n}$Los pesos de kriging se utilizan para interpolar los residuos. El modelo RK se considera el mejor predictor lineal de datos espaciales . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Tiene una varianza de predicción que refleja la posición de nuevas ubicaciones (extrapolación) tanto en el espacio geográfico como en el de características:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\mathtt {RK}}^{2}(\mathbf {s} _{0})=(C_{0}+C_{1})-\mathbf {c} _{\mathbf {0} }^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {c} _{\mathbf {0} }+\left(\mathbf {q} _{\mathbf {0} }-\mathbf {q} ^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {c} _{\mathbf {0} }\right)^{\mathbf {T} }\cdot \left(\mathbf {q} ^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {q} \right)^{\mathbf {-1} }\cdot \left(\mathbf {q} _{\mathbf {0} }-\mathbf {q} ^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {C} ^{-\mathbf {1} }\cdot \mathbf {c} _{\mathbf {0} }\right)}$

dónde${\displaystyle C_{0}+C_{1}}$es la variación del umbral y${\displaystyle {\mathbf {c} }_{0}}$es el vector de covarianzas de los residuos en la ubicación no visitada.

Muchos (geo)estadísticos creen que solo existe un modelo de predicción lineal insesgado óptimo para datos espaciales (por ejemplo, regresión-kriging), y que todas las demás técnicas, como el kriging ordinario, la correlación ambiental, el promedio de valores por polígonos o la interpolación de distancia inversa, pueden considerarse casos especiales. Si los residuos no muestran autocorrelación espacial (efecto pepita puro), la regresión-kriging converge a una regresión lineal múltiple pura, debido a que la matriz de covarianza (${\displaystyle \mathbf {C} }$) se convierte en una matriz identidad . Del mismo modo, si la variable objetivo no muestra correlación con los predictores auxiliares, el modelo de regresión-kriging se reduce a un modelo de kriging ordinario porque la parte determinista es igual al valor medio (global). Por lo tanto, el kriging puro y la regresión pura deben considerarse solo como casos especiales de regresión-kriging (véase la figura).

La literatura geoestadística utiliza diversos términos para técnicas que, en esencia, son iguales o muy similares. Esto confunde a los usuarios y les impide utilizar la técnica adecuada para sus proyectos cartográficos. De hecho, tanto el kriging universal como el kriging con deriva externa y el kriging de regresión son, básicamente, la misma técnica.

Matheron (1969) denominó originalmente a la técnica Le krigeage universel , sin embargo, la técnica fue concebida como un caso generalizado de kriging donde la tendencia se modela como una función de coordenadas. Por lo tanto, muchos autores reservan el término kriging universal (UK) para el caso en que solo las coordenadas se utilizan como predictores. Si la parte determinista de la variación ( deriva ) se define externamente como una función lineal de algunas variables auxiliares, en lugar de las coordenadas, se prefiere el término kriging con deriva externa (KED) (según Hengl 2007, "About regression-kriging: From equations to case studies"). En el caso de UK o KED, las predicciones se hacen como con kriging, con la diferencia de que la matriz de covarianza de los residuos se extiende con los predictores auxiliares. Sin embargo, la deriva y los residuos también pueden estimarse por separado y luego sumarse. Este procedimiento fue sugerido por Ahmed et al. (1987) y Odeh et al. (1995) posteriormente lo denominó kriging de regresión , mientras que Goovaerts (1997) utiliza el término kriging con un modelo de tendencia para referirse a una familia de interpoladores, y se refiere a RK como kriging simple con medias locales variables . Minasny y McBratney (2007) simplemente llaman a esta técnica Predictor Lineal Insesgado Mejor Empírico, es decir, E-BLUP . ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 4 ]}

En el caso de KED, las predicciones en nuevas ubicaciones se realizan mediante:

${\displaystyle {\hat {z}}_{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0})=\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0})\cdot z(\mathbf {s} _{i})}$

para

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}^{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0})\cdot q_{k}(\mathbf {s} _{i})=q_{k}(\mathbf {s} _{0})}$

para${\displaystyle k=1,\ldots ,p}$o en notación matricial:

${\displaystyle {\hat {z}}_{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0})=\mathbf {\delta } _{\mathbf {0} }^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {z} }$

dónde${\displaystyle z}$es la variable objetivo,${\displaystyle q_{k}}$son las variables predictoras, es decir, los valores en una nueva ubicación.${\displaystyle ({\mathbf {s} }_{0})}$,${\displaystyle {\mathbf {\delta } }_{\mathbf {0} }}$es el vector de pesos KED (${\displaystyle w_{i}^{\mathtt {KED}}}$),${\displaystyle p}$es el número de predictores y${\displaystyle \mathbf {z} }$es el vector de${\displaystyle n}$observaciones en ubicaciones primarias. Los pesos KED se resuelven utilizando las matrices extendidas:

${\displaystyle \mathbf {\lambda } _{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}=\left\{w_{1}^{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0}),\ldots ,w_{n}^{\mathtt {KED}}(\mathbf {s} _{0}),\varphi _{0}(\mathbf {s} _{0}),\ldots ,\varphi _{p}(\mathbf {s} _{0})\right\}^{\mathbf {T} }=\mathbf {C} ^{{\mathtt {KED}}-1}\cdot \mathbf {c} _{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}}$

dónde${\displaystyle {\mathbf {\lambda } }_{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}}$es el vector de pesos resueltos,${\displaystyle \varphi _{p}}$son los multiplicadores de Lagrange,${\displaystyle {\mathbf {C} }^{\mathtt {KED}}}$es la matriz de covarianza extendida de los residuos y${\displaystyle {\mathbf {c} }_{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}}$es el vector extendido de covarianzas en la nueva ubicación.

En el caso de KED, la matriz de covarianza extendida de los residuos se ve así (Webster y Oliver, 2007; p.  183): ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathtt {KED}}=\left[{\begin{array}{ccccccc}C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})&\cdots &C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{n})&1&q_{1}(\mathbf {s} _{1})&\cdots &q_{p}(\mathbf {s} _{1})\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\C(\mathbf {s} _{n},\mathbf {s} _{1})&\cdots &C(\mathbf {s} _{n},\mathbf {s} _{n})&1&q_{1}(\mathbf {s} _{n})&\cdots &q_{p}(\mathbf {s} _{n})\\1&\cdots &1&0&0&\cdots &0\\q_{1}(\mathbf {s} _{1})&\cdots &q_{1}(\mathbf {s} _{n})&0&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\q_{p}(\mathbf {s} _{1})&\cdots &q_{p}(\mathbf {s} _{n})&0&0&\cdots &0\end{array}}\right]}$

y${\displaystyle \mathbf {c} _{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}}$como esto:

${\displaystyle \mathbf {c} _{\mathbf {0} }^{\mathtt {KED}}=\left\{C(\mathbf {s} _{0},\mathbf {s} _{1}),\ldots ,C(\mathbf {s} _{0},\mathbf {s} _{n}),q_{0}(\mathbf {s} _{0}),q_{1}(\mathbf {s} _{0}),\ldots ,q_{p}(\mathbf {s} _{0})\right\}^{\mathbf {T} };q_{0}(\mathbf {s} _{0})=1}$

Por lo tanto, KED se ve exactamente como el kriging ordinario, excepto que la matriz/vector de covarianza se extiende con valores de predictores auxiliares.

Aunque el KED parece, a primera vista, ser computacionalmente más sencillo que el RK, los parámetros del variograma para el KED también deben estimarse a partir de los residuos de regresión, lo que requiere un paso de modelado de regresión separado. Esta regresión debe ser GLS debido a la probable correlación espacial entre los residuos. Tenga en cuenta que muchos analistas utilizan en su lugar los residuos OLS, que pueden no ser muy diferentes de los residuos GLS. Sin embargo, no son óptimos si existe alguna correlación espacial, y de hecho pueden ser bastante diferentes para puntos de muestra agrupados o si el número de muestras es relativamente pequeño (${\displaystyle \ll 200}$).

Una limitación de KED es la inestabilidad de la matriz extendida cuando la covariable no varía suavemente en el espacio. RK tiene la ventaja de separar explícitamente la estimación de la tendencia de la predicción espacial de los residuos, lo que permite el uso de formas de regresión arbitrariamente complejas, en lugar de las técnicas lineales simples que se pueden usar con KED. Además, permite la interpretación independiente de los dos componentes interpolados. El énfasis en la regresión es importante también porque el ajuste de la parte determinista de la variación (regresión) suele ser más beneficioso para la calidad de los mapas finales que el ajuste de la parte estocástica (residuos).

El kriging de regresión se puede automatizar, por ejemplo, en el entorno de computación estadística R , utilizando el paquete gstat y/o geoR. Las entradas/salidas típicas incluyen:

ENTRADAS:

• Conjunto de interpolación (mapa de puntos) —${\displaystyle z(\mathbf {s} _{i})}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$en ubicaciones principales;
• Valores mínimos y máximos esperados y precisión de la medición (${\displaystyle \Delta z}$);
• Predictores continuos (mapa ráster) —${\displaystyle q(\mathbf {s} )}$; en lugares nuevos no visitados
• Predictores discretos (mapa poligonal);
• Conjunto de validación (mapa de puntos) —${\displaystyle z*(\mathbf {s} _{j})}$${\displaystyle j=1,\ldots ,l}$(opcional);
• Espaciado de retardo y distancia límite (necesaria para ajustarse al variograma);

RESULTADOS:

• Mapa de predicciones y error de predicción relativo;
• Mejor subconjunto de predictores y significancia de la correlación (R cuadrado ajustado);
• Parámetros del modelo de variograma (por ejemplo,${\displaystyle C_{0}}$,${\displaystyle C_{1}}$,${\displaystyle R}$)
• Coeficientes del modelo de deriva GLS;
• Precisión de la predicción en los puntos de validación: error medio de predicción (MPE) y error cuadrático medio de predicción (RMSPE);

El kriging de regresión se utiliza en diversos campos aplicados, como meteorología, climatología, cartografía de suelos, cartografía geológica, modelado de distribución de especies y similares. El único requisito para utilizar el kriging de regresión, en comparación con el kriging ordinario, por ejemplo, es que existan una o más capas de covariables que estén significativamente correlacionadas con la característica de interés. Algunas aplicaciones generales del kriging de regresión son:

• Cartografía geoestadística: El kriging de regresión permite el uso de técnicas geoestadísticas híbridas para modelar, por ejemplo, la distribución espacial de las propiedades del suelo.
• Reducción de escala de mapas: El kriging de regresión puede utilizarse como marco para reducir la escala de varios mapas cuadriculados existentes. En este caso, las capas de covariables deben estar disponibles con una resolución mayor (que corresponde a la intensidad de muestreo) que los datos puntuales originales. ^{[ 11 ]}
• Propagación de errores : Los mapas simulados generados mediante un modelo de regresión-kriging pueden utilizarse para probar escenarios y para estimar la incertidumbre propagada.

Los algoritmos basados ​​en kriging de regresión desempeñan un papel cada vez más importante en la geoestadística debido al aumento diario del número de covariables posibles. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, los DEM están ahora disponibles en diversas fuentes. Ahora se pueden solicitar imágenes topográficas detalladas y precisas a sistemas de teledetección como SPOT y ASTER ; SPOT5 ofrece el escáner estereoscópico de alta resolución (HRS), que puede utilizarse para producir DEM con resoluciones de hasta 5 m. ^{[ 12 ]} También se pueden obtener diferencias de elevación más finas con escáneres láser aerotransportados. El coste de los datos es gratuito o está disminuyendo a medida que avanza la tecnología. La NASA registró la mayor parte de la topografía mundial en la Misión Topográfica de Radar del Transbordador en 2000. ^{[ 13 ]} Desde el verano de 2004, estos datos han estado disponibles (por ejemplo, a través del FTP del USGS ) para casi todo el globo con una resolución de unos 90 m (para el continente norteamericano con una resolución de unos 30 m). Asimismo, las imágenes multiespectrales MODIS están disponibles para su descarga gratuita con una resolución de 250 m. También se puede descargar un amplio repositorio gratuito de imágenes Landsat a través de la herramienta Global Land Cover Facility (GLCF), archivada el 22 de junio de 2012 en Wayback Machine .

• Capítulo 2, Regresión-kriging , en Tomislav Hengl (2009), Guía práctica para la cartografía geoestadística , 291 págs., ISBN 978-90-9024981-0.
• Hengl T.; Heuvelink GBM; Rossiter DG (2007). "Acerca del kriging de regresión: de las ecuaciones a los estudios de caso". Computers & Geosciences . 33 (10): 1301– 1315. Bibcode : 2007CG.....33.1301H . doi : 10.1016/j.cageo.2007.05.001 .

• Paquete Gstat (implementa KED)
• Paquete GeoR (implementa KED)