Forma cuadrática universal

En matemáticas , una forma cuadrática universal es una forma cuadrática sobre un anillo que representa cada elemento del anillo. ^{[ 1 ]} Una forma no singular sobre un cuerpo que representa el cero de manera no trivial es universal. ^{[ 2 ]}

• Sobre los números reales , la forma${\displaystyle x^{2}}$en una variable no es universal, ya que no puede representar números negativos: la forma de dos variables${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$es universal.
• El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que todo entero positivo es la suma de cuatro cuadrados . Por lo tanto, la forma${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}-u^{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {Z} }$es universal.
• Sobre un cuerpo finito , cualquier forma cuadrática no singular de dimensión 2 o más es universal. ^{[ 3 ]}

El teorema de Hasse-Minkowski implica que una forma es universal sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$si y solo si es universal sobre Q _p para todos los primos${\displaystyle p}$(donde incluimos${\displaystyle p=\infty }$, dejando${\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }}$denotar${\displaystyle \mathbb {R} }$). ^{[ 4 ]} Una forma sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$es universal si y solo si no es definido ; una forma sobre${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$es universal si tiene dimensión al menos 4. ^{[ 5 ]} Se puede concluir que todas las formas indefinidas de dimensión al menos 4 sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$son universales. ^{[ 4 ]}

• Los teoremas 15 y 290 dan condiciones para que una forma cuadrática represente todos los enteros positivos.

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .  
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 . 
• Serre, Jean-Pierre (1973). Curso de aritmética . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  7. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001 .