Formulación de variable universal

En mecánica orbital , la formulación de variables universales es un método utilizado para resolver el problema de Kepler de dos cuerpos . Es una forma generalizada de la ecuación de Kepler , que la extiende para aplicarse no solo a órbitas elípticas , sino también a órbitas parabólicas e hiperbólicas comunes para naves espaciales que parten de una órbita planetaria. También es aplicable a la eyección de cuerpos pequeños en el Sistema Solar desde las proximidades de planetas masivos, durante los cuales las órbitas aproximadas de dos cuerpos pueden tener excentricidades muy variables , casi siempre e ≥ 1 .

Un problema común en mecánica orbital es el siguiente: Dado un cuerpo en órbita y un tiempo inicial fijo${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}\ ,}$determinar la posición del cuerpo en un momento posterior${\displaystyle \ t~.}$Para órbitas elípticas con una excentricidad razonablemente pequeña , resolver la ecuación de Kepler mediante métodos como el de Newton proporciona excelentes resultados. Sin embargo, a medida que la órbita se aproxima a una trayectoria de escape, se vuelve cada vez más excéntrica, y la convergencia de la iteración numérica puede volverse excesivamente lenta o incluso no converger en absoluto para e ≥ 1. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Nótese que la forma convencional de la ecuación de Kepler no se puede aplicar a órbitas parabólicas e hiperbólicas sin adaptaciones especiales para acomodar los números imaginarios , ya que su forma ordinaria está específicamente diseñada para senos y cosenos; las trayectorias de escape en cambio utilizan sinh y cosh ( funciones hiperbólicas ).

Aunque se pueden derivar ecuaciones similares a la ecuación de Kepler para órbitas parabólicas e hiperbólicas , es más conveniente introducir una nueva variable independiente para reemplazar la anomalía excéntrica.${\displaystyle \ E\ ,}$y tener una sola ecuación que se puede resolver independientemente de la excentricidad de la órbita. La nueva variable${\displaystyle \ s\ }$se define mediante la siguiente ecuación diferencial :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}}$

dónde${\displaystyle \ r\equiv r(t)\ }$es la distancia escalar dependiente del tiempo al centro de atracción.

(En todas las fórmulas siguientes, observe atentamente la distinción entre escalares)${\displaystyle \ r\ ,}$en cursiva y vectores${\displaystyle \ \mathbf {r} \ ,}$(en negrita y vertical .)

Podemos regularizar la ecuación fundamental.

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad }$

dónde${\displaystyle ~~\mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)~~}$es la constante de escala gravitacional del sistema,

aplicando el cambio de variable desde el tiempo${\displaystyle \ t\ }$a${\displaystyle \ s\ }$lo que produce ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} \ }$

dónde${\displaystyle \ \mathbf {P} \ }$es algún vector constante por determinar y : ${\displaystyle \ \alpha \ }$es la energía orbital, definida por

${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.}$

La ecuación es la misma que la del oscilador armónico , una ecuación bien conocida tanto en física como en matemáticas ; sin embargo, el vector constante desconocido resulta algo inconveniente. Al derivar de nuevo, eliminamos el vector constante.${\displaystyle \ \mathbf {P} \ ,}$a costa de obtener una ecuación diferencial de tercer grado:

${\displaystyle \ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} s\ }}=\mathbf {0} \ }$

La familia de soluciones de esta ecuación diferencial ^{[ 2 ]} se escribe, por conveniencia, simbólicamente en términos de las tres funciones.${\displaystyle \ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\ }$${\displaystyle \ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,}$y${\displaystyle \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\$ ;\ } donde las funciones${\displaystyle \ c_{k}\!(x)\ ,}$llamadas funciones de Stumpff , que son generalizaciones truncadas de las series de seno y coseno . La ecuación de cambio de variable${\displaystyle \ {\tfrac {\operatorname {d} t}{\ \operatorname {d} s\ }}=r\ }$da la ecuación integral escalar

${\displaystyle \ \int _{{\tilde {t}}=t_{\mathsf {o}}}^{t}\operatorname {d} {\tilde {t}}=\int _{{\tilde {r}}=r_{\mathsf {o}},\ {\tilde {s}}=0}^{r,\ s}~{\tilde {r}}(\ {\tilde {s}}\ )~\operatorname {d} {\tilde {s}}~.}$

Tras un extenso álgebra y sustituciones hacia atrás, su solución resulta en ^{[ 2 ] : Ec. 6.9.26}

${\displaystyle \ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ }$

que es la formulación de variables universales de la ecuación de Kepler .

No existe una solución analítica cerrada, pero esta forma de variable universal de la ecuación de Kepler se puede resolver numéricamente para${\displaystyle \ s\ ,}$utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces como el método de Newton o el método de Laguerre durante un tiempo determinado${\displaystyle \ t\ ~.}$El valor de${\displaystyle \ s\ }$El resultado así obtenido se utiliza a su vez para calcular el${\displaystyle \ f\ }$y${\displaystyle \ g\ }$funciones y el${\displaystyle \ {\dot {f}}\ }$y${\displaystyle \ {\dot {g}}\ }$Funciones necesarias para determinar la posición y velocidad actuales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}}$

Los valores de la${\displaystyle \ f\ }$y${\displaystyle \ g\ }$Las funciones determinan la posición del cuerpo en ese momento.${\displaystyle \ t\ }$:

$${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\ }$$

Además, la velocidad del cuerpo en el tiempo${\displaystyle \ t\ }$se puede encontrar usando${\displaystyle \ {\dot {f}}(s)\ }$y${\displaystyle \ {\dot {g}}(s)\ }$como sigue:

${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\ }$

dónde${\displaystyle \ \mathbf {r} (t)\ }$y${\displaystyle \ \mathbf {v} (t)\ }$son respectivamente los vectores de posición y velocidad en el instante${\displaystyle \ t\ ,}$y${\displaystyle \ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ }$y

${\displaystyle \ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ }$son la posición y la velocidad en un tiempo inicial arbitrario${\displaystyle \ t_{\mathsf {o}}~.}$