colector estable

En matemáticas , y en particular en el estudio de sistemas dinámicos , la idea de conjuntos estables e inestables o variedades estables e inestables proporciona una definición matemática formal a las nociones generales que encierra la idea de atractor o repulsor . En el caso de la dinámica hiperbólica , la noción correspondiente es la del conjunto hiperbólico .

Las fuerzas de marea gravitatorias que actúan sobre los anillos de Saturno proporcionan un ejemplo físico fácil de visualizar. Estas fuerzas aplanan el anillo hasta el plano ecuatorial, al tiempo que lo estiran en dirección radial. Si imaginamos los anillos como partículas de arena o grava ("polvo") en órbita alrededor de Saturno, las fuerzas de marea son tales que cualquier perturbación que empuje las partículas por encima o por debajo del plano ecuatorial provoca que experimenten una fuerza restauradora que las devuelve al plano. Las partículas oscilan efectivamente en un pozo armónico, amortiguado por las colisiones. La dirección estable es perpendicular al anillo. La dirección inestable se encuentra a lo largo de cualquier radio, donde las fuerzas estiran y separan las partículas. Dos partículas que comienzan muy cerca una de la otra en el espacio de fases experimentarán fuerzas radiales que las harán divergir radialmente. Estas fuerzas tienen un exponente de Lyapunov positivo ; las trayectorias se encuentran en una variedad hiperbólica, y el movimiento de las partículas es esencialmente caótico , vagando a través de los anillos. La variedad central es tangente a los anillos, y las partículas no experimentan ni compresión ni estiramiento. Esto permite que las fuerzas gravitatorias de segundo orden dominen, y así las partículas pueden ser arrastradas por las lunas o lunas pequeñas en los anillos, sincronizándose con ellas. Las fuerzas gravitatorias de las lunas proporcionan, en efecto, un pequeño impulso que se repite regularmente en cada vuelta a la órbita, similar a un rotor impulsado , como el que se encuentra en un bucle de sincronización de fase .

El movimiento discreto de las partículas en el anillo se puede aproximar mediante el mapa de Poincaré . Este mapa proporciona la matriz de transferencia del sistema. El vector propio asociado al mayor valor propio de la matriz es el vector propio de Frobenius-Perron , que también es la medida invariante , es decir, la densidad real de las partículas en el anillo. Todos los demás vectores propios de la matriz de transferencia tienen valores propios menores y corresponden a modos de decaimiento.

A continuación se proporciona una definición para el caso de un sistema que es una función iterada o tiene dinámica de tiempo discreto. Nociones similares se aplican a sistemas cuya evolución temporal viene dada por un flujo .

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico y${\displaystyle f\colon X\to X}$un homeomorfismo . Si${\displaystyle p}$es un punto fijo para${\displaystyle f}$, el conjunto estable de${\displaystyle p}$se define por

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ cuando }}n\to \infty \}}$

y el conjunto inestable de${\displaystyle p}$se define por

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ cuando }}n\to \infty \}.}$

Aquí,${\displaystyle f^{-1}}$denota la inversa de la función${\displaystyle f}$, es decir ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$, dónde${\displaystyle id_{X}}$es el mapa de identidad en${\displaystyle X}$.

Si${\displaystyle p}$es un punto periódico de período mínimo${\displaystyle k}$, entonces es un punto fijo de${\displaystyle f^{k}}$y los conjuntos estables e inestables de${\displaystyle p}$se definen por

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

Dado un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p}$, los conjuntos locales estables e inestables de${\displaystyle p}$se definen por

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ para cada }}n\geq 0\}}$

y

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

Si${\displaystyle X}$es metrizable , podemos definir los conjuntos estables e inestables para cualquier punto mediante

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ para }}n\to \infty \}}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

dónde${\displaystyle d}$es una métrica para${\displaystyle X}$Esta definición coincide claramente con la anterior cuando${\displaystyle p}$es un punto periódico.

Supongamos ahora que${\displaystyle X}$es un colector liso y compacto , y${\displaystyle f}$es un${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$difeomorfismo ,${\displaystyle k\geq 1}$. Si${\displaystyle p}$es un punto periódico hiperbólico, el teorema de la variedad estable asegura que para algún vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p}$, los conjuntos estables e inestables locales son${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ discos incrustados, cuyos espacios tangentes en${\displaystyle p}$son${\displaystyle E^{s}}$y${\displaystyle E^{u}}$(los espacios estables e inestables de${\displaystyle Df(p)}$), respectivamente; además, varían continuamente (en cierto sentido) en un entorno de${\displaystyle f}$en el${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$topología de${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$(el espacio de todos${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$difeomorfismos de${\displaystyle X}$a sí mismo). Finalmente, los conjuntos estables e inestables son${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$Discos inmersos inyectivamente. Por eso se les suele llamar variedades estables e inestables . Este resultado también es válido para puntos no periódicos, siempre que pertenezcan a algún conjunto hiperbólico (teorema de la variedad estable para conjuntos hiperbólicos).

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial (de dimensión finita) y${\displaystyle f}$En un isomorfismo, sus conjuntos estable e inestable se denominan espacio estable y espacio inestable, respectivamente.

• Variedad invariante
• colector central
• Límite establecido
• Julia estableció
• colector lento
• colector inercial
• Variedad invariante normalmente hiperbólica
• Estructura coherente lagrangiana

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Reading, Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Irwin, Michael C. (2001). «Variedades estables» . Sistemas dinámicos suaves . World Scientific. págs. 143–160 . ISBN  981-02-4599-8.
• Sritharan, SS (1990). Teoría de variedades invariantes para la transición hidrodinámica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

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