Número inusual

En teoría de números , un número inusual es un número natural n cuyo factor primo más grande es estrictamente mayor que${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Un número k - suave tiene todos sus factores primos menores o iguales a k , por lo tanto, un número inusual no es k-suave.${\displaystyle {\sqrt {n}}}$-liso.

El término "número inusual" fue acuñado por Daniel Greene y Donald Knuth , quienes también demostraron que, de manera algo confusa, son asintóticamente más densos que sus contrapartes "usuales". ^{[ 1 ]}

Todos los números primos son inusuales. Para cualquier primo p , sus múltiplos menores que p ² son inusuales, es decir p , ... ( p − 1) p , que tienen una densidad 1/ p en el intervalo ( p , p ² ).

Los primeros números inusuales son

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, ... (secuencia A064052 en el OEIS )

Los primeros números inusuales no primos (compuestos) son:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102, ... (secuencia A063763 en el OEIS )

Si denotamos por u ( n ) la cantidad de números inusuales menores o iguales a n, entonces u ( n ) se comporta de la siguiente manera:

Richard Schroeppel afirmó en HAKMEM (1972), Artículo #29 ^{[ 2 ]} que la probabilidad asintótica de que un número elegido al azar sea inusual es ln(2) . En otras palabras:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.}$

• Weisstein, Eric W. "Número aproximado" . MathWorld .