matriz de Hessenberg

Un cuadrado${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$Se dice que está en forma de Hessenberg superior o que es una matriz de Hessenberg superior si${\displaystyle a_{i,j}=0}$a pesar de${\displaystyle i,j}$con${\displaystyle i>j+1}$.

Una matriz de Hessenberg superior se denomina no reducida si todas las entradas subdiagonales son distintas de cero, es decir, si${\displaystyle a_{i+1,i}\neq 0}$a pesar de${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$. ^{[ 3 ]}

Un cuadrado${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$Se dice que está en forma de Hessenberg inferior o que es una matriz de Hessenberg inferior si su transpuesta${\displaystyle }$es una matriz de Hessenberg superior o equivalentemente si${\displaystyle a_{i,j}=0}$a pesar de${\displaystyle i,j}$con${\displaystyle j>i+1}$.

Una matriz de Hessenberg inferior se denomina no reducida si todas las entradas superdiagonales son distintas de cero, es decir, si${\displaystyle a_{i,i+1}\neq 0}$a pesar de${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$.

Cualquier${\displaystyle n\times n}$La matriz puede transformarse en una matriz de Hessenberg mediante una transformación de semejanza utilizando transformaciones de Householder . El siguiente procedimiento para dicha transformación está adaptado de A Second Course In Linear Algebra de Garcia y Horn . ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle A}$ser cualquier cosa real o compleja${\displaystyle n\times n}$matriz, luego dejar${\displaystyle A^{\prime }}$ser el${\displaystyle (n-1)\times n}$submatriz de${\displaystyle A}$construido eliminando la primera fila en${\displaystyle A}$y dejar${\displaystyle \mathbf {a} _{1}^{\prime }}$ser la primera columna de${\displaystyle A'}$. Construir el${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$matriz del propietario${\displaystyle V_{1}=I_{(n-1)}-2{\frac {ww^{*}}{\|w\|^{2}}}}$dónde $${\displaystyle w={\begin{cases}\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}-\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }=0\\\|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|_{2}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\overline {a_{11}^{\prime }}}{|a_{11}^{\prime }|}}\mathbf {a} _{1}^{\prime }\;\;\;,\;\;\;a_{11}^{\prime }\neq 0\\\end{cases}}}$$

Esta matriz de hogares mapeará${\displaystyle \mathbf {a} _{1}^{\prime }}$a${\displaystyle \|\mathbf {a} _{1}^{\prime }\|\mathbf {e} _{1}}$y como tal, la matriz de bloques${\displaystyle U_{1}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &V_{1}\end{bmatrix}}}$mapeará la matriz${\displaystyle A}$a la matriz${\displaystyle U_{1}A}$que solo tiene ceros debajo de la segunda entrada de la primera columna. Ahora construye${\displaystyle (n-2)\times (n-2)}$matriz del propietario${\displaystyle V_{2}}$de manera similar a como${\displaystyle V_{1}}$de tal manera que${\displaystyle V_{2}}$mapea la primera columna de${\displaystyle A^{\prime \prime }}$a${\displaystyle \|\mathbf {a} _{1}^{\prime \prime }\|\mathbf {e} _{1}}$, dónde${\displaystyle A^{\prime \prime }}$es la submatriz de${\displaystyle A^{\prime }}$construido eliminando la primera fila y la primera columna de${\displaystyle A^{\prime }}$, entonces deja${\displaystyle U_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&V_{2}\end{bmatrix}}}$qué mapas${\displaystyle U_{1}A}$a la matriz${\displaystyle U_{2}U_{1}A}$que solo tiene ceros debajo de la primera y segunda entrada de la subdiagonal. Ahora construye${\displaystyle V_{3}}$y luego${\displaystyle U_{3}}$De manera similar, pero para la matriz${\displaystyle A^{\prime \prime \prime }}$construido eliminando la primera fila y la primera columna de${\displaystyle A^{\prime \prime }}$y proceda como en los pasos anteriores. Continúe así durante un total de${\displaystyle n-2}$pasos.

Por construcción de${\displaystyle U_{k}}$, la primera${\displaystyle k}$columnas de cualquier${\displaystyle n\times n}$Las matrices son invariantes bajo la multiplicación por${\displaystyle U_{k}^{*}}$desde la derecha. Por lo tanto, cualquier matriz puede transformarse en una matriz de Hessenberg superior mediante una transformación de similitud de la forma${\displaystyle U_{(n-2)}(\dots (U_{2}(U_{1}AU_{1}^{*})U_{2}^{*})\dots )U_{(n-2)}^{*}=U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1}A(U_{(n-2)}\dots U_{2}U_{1})^{*}=UAU^{*}}$.

Una rotación de Jacobi (también llamada rotación de Givens) es una transformación de matriz ortogonal de la forma

${\displaystyle A\to A'=J(p,q,\theta )^{T}AJ(p,q,\theta )\;,}$

dónde${\displaystyle J(p,q,\theta )}$,${\displaystyle p<q}$, es la matriz de rotación de Jacobi con todos los elementos de la matriz iguales a cero excepto

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}J(p,q,\theta )_{ii}&{}=1\;\forall i\neq p,q\\J(p,q,\theta )_{pp}&{}=\cos(\theta )\\J(p,q,\theta )_{qq}&{}=\cos(\theta )\\J(p,q,\theta )_{pq}&{}=\sin(\theta )\\J(p,q,\theta )_{qp}&{}=-\sin(\theta )\;.\end{aligned}}\right.}$

Se puede poner a cero el elemento de la matriz.${\displaystyle A'_{p-1,q}}$eligiendo el ángulo de rotación${\displaystyle \theta }$para satisfacer la ecuación

${\displaystyle A_{p-1,p}\sin \theta +A_{p-1,q}\cos \theta =0\;,}$

Ahora bien, la secuencia de tales rotaciones de Jacobi con lo siguiente${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle (p,q)=(2,3),(2,4),\dots ,(2,n),(3,4),\dots ,(3,n),\dots ,(n-1,n)}$

reduce la matriz${\displaystyle A}$a la forma de Hessenberg inferior. ^{[ 5 ]}