Límites superior e inferior

En matemáticas , particularmente en teoría del orden , una cota superior o mayorante ^{[ 1 ]} de un subconjunto S de algún conjunto preordenado ( K , ≤) es un elemento de K que es mayor o igual que cada elemento de S. ^{[ 2 ] [ 3 ]} De manera similar , una cota inferior o minorante de S se define como un elemento de K que es menor o igual que cada elemento de S. Un conjunto con una cota superior (respectivamente, inferior) se dice que está acotado superiormente o mayorizado ^{[ 1 ]} (respectivamente acotado inferiormente o minorizado ) por esa cota. Los términos acotado superiormente ( acotado inferiormente ) también se utilizan en la literatura matemática para conjuntos que tienen cotas superiores (respectivamente inferiores). ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, 5 es una cota inferior para el conjunto S = {5, 8, 42, 34, 13934} (como subconjunto de los enteros o de los números reales , etc.), y también lo es 4. Por otro lado, 6 no es una cota inferior para S ya que no es menor que cada elemento en S. 13934 y otros números x tales que x ≥ 13934 serían una cota superior para S.

El conjunto S = {42} tiene a 42 como límite superior y como límite inferior; todos los demás números son un límite superior o un límite inferior para ese S.

Todo subconjunto de los números naturales tiene un límite inferior, ya que los números naturales tienen un elemento mínimo (0 o 1, según la convención). Un subconjunto infinito de los números naturales no puede tener límite superior. Un subconjunto infinito de los números enteros puede tener límite inferior o superior, pero no ambos. Un subconjunto infinito de los números racionales puede tener o no límite inferior, y puede tener o no límite superior.

Todo subconjunto finito de un conjunto totalmente ordenado no vacío tiene límites superiores e inferiores.

Las definiciones pueden generalizarse a funciones e incluso a conjuntos de funciones.

Dada una función f con dominio D y un conjunto preordenado ( K , ≤) como codominio , un elemento y de K es una cota superior de f si y ≥ f ( x ) para cada x en D. La cota superior se denomina óptima si la igualdad se cumple para al menos un valor de x . Esto indica que la restricción es óptima y, por lo tanto, no se puede reducir más sin invalidar la desigualdad.

De forma similar, una función g definida en el dominio D y que tiene el mismo codominio ( K , ≤) es una cota superior de f si g ( x ) ≥ f ( x ) para cada x en D. Además, se dice que la función g es una cota superior de un conjunto de funciones si es una cota superior de cada función en ese conjunto.

La noción de límite inferior para (conjuntos de) funciones se define de forma análoga, sustituyendo ≥ por ≤.

Se dice que un límite superior es un límite superior ajustado , un límite superior mínimo o un supremo si ningún valor menor es un límite superior. De manera similar, se dice que un límite inferior es un límite inferior ajustado , un límite inferior máximo o un ínfimo si ningún valor mayor es un límite inferior.

Se dice que una cota superior u de un subconjunto S de un conjunto preordenado ( K ​​, ≤) es una cota superior exacta para S si todo elemento de K que es estrictamente mayorizado por u también es mayorizado por algún elemento de S. Las cotas superiores exactas de productos reducidos de órdenes lineales desempeñan un papel importante en la teoría PCF . ^{[ 5 ]}

• Elemento mayor y elemento menor
• Ínfimo y supremo
• Elementos máximos y mínimos