derivado de Dini

En matemáticas y, específicamente, en análisis real , las derivadas de Dini (o derivadas de Dini ) son una clase de generalizaciones de la derivada . Fueron introducidas por Ulisse Dini , quien estudió funciones continuas pero no diferenciables.

La derivada de Dini superior , que también se denomina derivada superior derecha , ^{[ 1 ]} de una función continua

f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} },

se denota por $f' +$ y se define por

f'_{+}(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}},

donde $lim sup$ es el límite supremo y el límite es un límite lateral . La derivada de Dini inferior , $f' -$ , se define por

f'_{-}(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}},

donde $lim inf$ es el límite ínfimo .

Si $f$ está definida en un espacio vectorial , entonces la derivada de Dini superior en $t$ en la dirección $d$ está definida por

f'_{+}(t,d)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.

Si $f$ es localmente Lipschitz , entonces $f' +$ es finito. Si $f$ es diferenciable en $t$ , entonces la derivada de Dini en $t$ es la derivada usual en $t$ .

Observaciones

Las funciones se definen en términos del ínfimo y el supremo para que las derivadas de Dini sean lo más robustas posible, de modo que estén bien definidas para casi todas las funciones, incluso para aquellas que no son diferenciables convencionalmente. La conclusión del análisis de Dini es que una función es diferenciable en el punto $t$ de la recta real ( $ℝ$ ) solo si todas sus derivadas de Dini existen y tienen el mismo valor.

A veces se usa la notación $D + f (t)$ en lugar de $f' + (t)$ y $D - f (t)$ en lugar de $f' - (t)$ . ^{[ 1 ]}
También,

D^{+}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

y

D_{-}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}

.

Así, al utilizar la notación $D$ de las derivadas de Dini, el signo más o menos indica el límite izquierdo o derecho, y la posición del signo indica el límite ínfimo o supremo .

Existen dos derivados de Dini adicionales, definidos como

D_{+}f(t)=\liminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}

y

D^{-}f(t)=\limsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t)-f(th)}{h}}

.

que son iguales al primer par, pero con el supremo y el ínfimo invertidos. Para funciones moderadamente mal comportadas, no se necesitan las dos derivadas de Dini adicionales. Para funciones particularmente mal comportadas, si las cuatro derivadas de Dini tienen el mismo valor ( $D^{+}f(t)=D_{+}f(t)=D^{-}f(t)=D_{-}f(t)$ ) entonces la función $f$ es diferenciable en el sentido usual en el punto $t$ .

En los números reales extendidos , cada una de las derivadas de Dini siempre existe; sin embargo, pueden tomar los valores $+\infty$ o $-\infty$ en ocasiones (es decir, las derivadas de Dini siempre existen en el sentido extendido ).

Véase también

Teorema de Denjoy-Young-Saks : Teorema matemático sobre las derivadas de Dini.
Derivadas (generalizaciones) – Construcción fundamental del cálculo diferencial Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento
Semidiferenciabilidad – Propiedad de una función matemática

Referencias

1 2 Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.

Lukashenko, TP (2001) [1994], "Derivada de Dini" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
Royden, HL (1968). Análisis real (2.ª ed.). MacMillan. ISBN 978-0-02-404150-0.
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Análisis real elemental . ClassicalRealAnalysis.com [primera edición publicada por Prentice Hall en 2001]. pp. 301–302 . ISBN 978-1-4348-4161-2.

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[Khalil02-1] 1 2 Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.

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