Flotabilidad

La flotabilidad ( / ˈ b ɔɪ ən s i , ˈ b uː j ən s i / ), ^{[ 1 ] [ 2 ]} o empuje , es la fuerza ejercida por un fluido que se opone al peso de un objeto parcial o totalmente sumergido (que también puede ser una porción de fluido). En una columna de fluido, la presión aumenta con la profundidad como resultado del peso del fluido suprayacente. Por lo tanto, la presión en el fondo de una columna de fluido es mayor que en la parte superior de la columna. De manera similar, la presión en el fondo de un objeto sumergido en un fluido es mayor que en la parte superior del objeto. La diferencia de presión resulta en una fuerza neta ascendente sobre el objeto. La magnitud de la fuerza es proporcional a la diferencia de presión y (como explica el principio de Arquímedes ) es equivalente al peso del fluido que de otro modo ocuparía el volumen sumergido del objeto, es decir, el fluido desplazado .

Por esta razón, un objeto bajo la influencia de la gravedad ^{[ 3 ]} con una densidad promedio mayor que la del fluido circundante tiende a hundirse porque su peso es mayor que el peso del fluido que desplaza. Si el objeto es menos denso, la flotabilidad puede mantenerlo a flote. ^{[ 4 ]}

La flotabilidad también se aplica a las mezclas de fluidos y es la fuerza impulsora más común de las corrientes de convección . En estos casos, el modelo matemático se modifica para aplicarlo a los continuos , pero los principios siguen siendo los mismos. Ejemplos de flujos impulsados ​​por flotabilidad incluyen la separación espontánea de aire y agua o de aceite y agua.

La flotabilidad es función de la fuerza de gravedad u otra fuente de aceleración que actúa sobre objetos de diferente densidad, y por ello se considera una fuerza aparente, al igual que la fuerza centrífuga es una fuerza aparente en función de la inercia. La flotabilidad puede existir en entornos sin gravedad, pero sin alguna fuente de aceleración que cree un sistema de referencia no inercial , no existe.

El centro de flotabilidad de un objeto es el centro de gravedad del volumen de fluido desplazado.

El principio de Arquímedes recibe su nombre de Arquímedes de Siracusa , quien descubrió esta ley por primera vez en el año 212 a. C. ^{[ 5 ]} Para objetos, tanto flotantes como sumergidos, y en gases y líquidos (es decir, fluidos ), el principio de Arquímedes puede enunciarse así en términos de fuerzas:

Cualquier objeto, total o parcialmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerza de empuje igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

—con las aclaraciones de que para un objeto hundido el volumen del fluido desplazado es el volumen del objeto, y para un objeto que flota en un líquido, el peso del líquido desplazado es el peso del objeto. ^{[ 6 ]}

Matemáticamente observamos.

${\displaystyle \mathbf {F_{B}} =-\mathbf {F_{g}} =-\rho V{\textbf {g}}}$

Dónde${\displaystyle \mathbf {g} }$es la aceleración gravitacional local,${\displaystyle \rho }$la densidad del fluido y${\displaystyle V}$el volumen desplazado; el signo negativo surge ya que la fuerza de flotación actúa en dirección opuesta al peso del objeto. El principio de Arquímedes no considera la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo, ^{[ 7 ]} pero esta fuerza adicional modifica solo la cantidad de fluido desplazado y la distribución espacial del desplazamiento , por lo que el principio${\displaystyle \mathbf {F_ {B}} =-\mathbf {F_ {g}}}$sigue siendo válido.

Es importante tener en cuenta que la densidad de un objeto se define como su masa por unidad de volumen.

${\displaystyle \rho ={\frac {M}{V}}}$

Si un objeto está completamente sumergido y suponemos que la fuerza neta que actúa sobre él en dirección vertical es cero, el volumen desplazado es simplemente el volumen del objeto.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=F_{B}-F_{g}=\rho _{\text{fluid}}Vg-\rho _{\text{obj}}Vg\implies \rho _{\text{fluid}}=\rho _{\text{obj}}}$

Esto implica que los objetos con mayor densidad que el fluido se hundirán, y los de menor densidad flotarán. Ejemplo: Si una persona deja caer un trozo de madera al agua, la flotabilidad lo mantendrá a flote.

Una aplicación común del principio de Arquímedes es la pesada hidrostática . Supongamos que podemos medir la tensión de una masa colgante mediante una sonda de fuerza. Suponiendo el principio de Arquímedes, cuando la masa está sumergida en el fluido y la fuerza neta es cero,

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=F_{B}+F_{T}-F_{g}=\rho _{\text{fluid}}Vg+F_{T}-mg}$

${\displaystyle \implies V={\frac {mg-F_{T}}{\rho _{\text{fluido}}g}}}$

Recordemos que la definición de estados de densidad

${\displaystyle \rho _{\text{obj}}={\frac {m}{V}}={\frac {mg\rho _{\text{fluido}}}{mg-F_{T}}}}$

De este modo, la densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin necesidad de medir volúmenes. A continuación, podemos indicar la relación de densidades.

${\displaystyle {\frac {\rho _{\text{obj}}}{\rho _{\text{fluid}}}}={\frac {F_{g}}{F_{g}-F_{\text{app}}}}\,}$

La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:

${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}$

donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido, y σ es el tensor de tensiones de Cauchy . En este caso, el tensor de tensiones es proporcional al tensor identidad:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}$

Aquí δ _ij es la delta de Kronecker . Usando esto, la ecuación anterior se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}$

Suponiendo que el campo de fuerza externo es conservativo, es decir, que se puede escribir como el gradiente negativo de alguna función escalar:

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}$

Entonces:

${\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,}$

Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservativo externo aplicado. Sea el eje z apuntando hacia abajo. En este caso, el campo es la gravedad, por lo que Φ  =  − ρ _f gz, donde g es la aceleración gravitatoria y ρ _f es la densidad de masa del fluido. Tomando la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es

${\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}$

Así, la presión aumenta con la profundidad bajo la superficie de un líquido, donde z representa la distancia desde la superficie hasta el interior del líquido. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá presiones diferentes en su parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión genera la fuerza de flotación ascendente.

Ahora se puede calcular fácilmente la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo, ya que se conoce la presión interna del fluido. Esta fuerza se calcula integrando el tensor de esfuerzos sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido.

${\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}$

La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss :

${\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}$

donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir, el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza sobre la parte del cuerpo que está fuera de él.

La magnitud de la fuerza de flotación puede apreciarse mejor con el siguiente argumento. Consideremos un objeto cualquiera de forma y volumen V arbitrarios rodeado por un líquido. La fuerza que el líquido ejerce sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en dirección opuesta a la fuerza gravitatoria, es decir, de magnitud:

${\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}$

donde ρ _f es la densidad del fluido, V _disp es el volumen del cuerpo de líquido desplazado y g es la aceleración gravitatoria en el lugar en cuestión.

Si este volumen de líquido se reemplaza por un cuerpo sólido de la misma forma, la fuerza que el líquido ejerce sobre él debe ser exactamente la misma que la anterior. En otras palabras, la "fuerza de flotación" sobre un cuerpo sumergido está dirigida en la dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a

${\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}$

Aunque la derivación anterior del principio de Arquímedes es correcta, un artículo reciente del físico brasileño Fabio MS Lima presenta un enfoque más general para la evaluación de la fuerza de flotación ejercida por cualquier fluido (incluso no homogéneo) sobre un cuerpo de forma arbitraria. ^{[ 8 ]} Curiosamente, este método predice que la fuerza de flotación ejercida sobre un bloque rectangular que toca el fondo de un recipiente apunta hacia abajo. De hecho, esta fuerza de flotación descendente se ha confirmado experimentalmente. ^{[ 9 ]}

La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero para que se trate de una situación de estática de fluidos tal que el principio de Arquímedes sea aplicable, y por lo tanto es la suma de la fuerza de flotación y el peso del objeto.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}$

Si la flotabilidad de un objeto (sin restricciones ni propulsión) supera su peso, tiende a ascender. Un objeto cuyo peso supera su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza ascendente sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no puede realizarse únicamente con el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica del objeto, incluyendo la flotabilidad. Una vez que se hunde completamente hasta el fondo del fluido o asciende a la superficie y se asienta, el principio de Arquímedes puede aplicarse por sí solo. Para un objeto flotante, solo el volumen sumergido desplaza agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza agua, y habrá una fuerza de reacción adicional del fondo sólido.

Para que el principio de Arquímedes pueda utilizarse solo, el objeto en cuestión debe estar en equilibrio (la suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto debe ser cero), por lo tanto;

${\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}$

y por lo tanto

${\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}$

Esto demuestra que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante, y el volumen de fluido que desplazará, es independiente del campo gravitatorio, independientemente de la ubicación geográfica.

( Nota: Si el fluido en cuestión es agua de mar , no tendrá la misma densidad ( ρ ) en todos los puntos, ya que la densidad depende de la temperatura y la salinidad . Por esta razón, un barco puede mostrar una línea de Plimsoll ) .

Puede ocurrir que entren en juego fuerzas distintas a la flotabilidad y la gravedad. Esto sucede si el objeto está sujeto o si se hunde hasta el fondo. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse experimentará una fuerza normal N ejercida sobre él por el fondo. Esta fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y es así como se define el peso aparente.

Si el objeto flotara de otro modo, la tensión necesaria para mantenerlo completamente sumergido es:

${\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}$

Cuando un objeto que se hunde se asienta sobre un suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:

${\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}$

Otra fórmula posible para calcular la flotabilidad de un objeto consiste en hallar su peso aparente en el aire (en Newtons) y su peso aparente en el agua (en Newtons). Para hallar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto en el aire, utilizando esta información, se aplica la siguiente fórmula:

Fuerza de flotación = peso del objeto en el espacio vacío − peso del objeto sumergido en el fluido

El resultado final se mediría en Newtons.

La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la de la mayoría de los sólidos y líquidos. Por esta razón, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se suele despreciar para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire, ya que el error suele ser insignificante (normalmente inferior al 0,1 %, excepto para objetos de densidad media muy baja, como un globo o espuma ligera).

Modelo simplificado

Una explicación simplificada para la integración de la presión sobre el área de contacto puede enunciarse de la siguiente manera:

Consideremos un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior en posición horizontal.

Los lados tienen la misma área y la misma distribución de profundidad, por lo tanto, también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicularmente al plano de la superficie de cada lado.

Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales, y la fuerza resultante es cero.

La fuerza ascendente sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie se encuentra a profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie inferior horizontal del cubo es igual a la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie inferior.

De forma similar, la fuerza descendente sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie se encuentra a profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es igual a la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.

Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior e inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual al peso del fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.

Esto significa que la fuerza ascendente resultante sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabría en el volumen del cubo, y la fuerza descendente sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.

Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.

Si se colocan dos cubos uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y las fuerzas resultantes sobre las caras o partes de las mismas en contacto se equilibran y pueden despreciarse, ya que las superficies de contacto tienen la misma forma, tamaño y distribución de presión. Por lo tanto, la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotabilidades de cada cubo. Esta analogía puede extenderse a un número arbitrario de cubos.

Un objeto de cualquier forma puede aproximarse como un grupo de cubos en contacto entre sí, y a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.

Las superficies anguladas no invalidan la analogía, ya que la fuerza resultante puede dividirse en componentes ortogonales y tratarse cada una de ellas de la misma manera.

Estabilidad estática

Un objeto flotante es estable si tiende a recuperar su posición de equilibrio tras un pequeño desplazamiento. Por ejemplo, los objetos flotantes suelen tener estabilidad vertical, ya que si se les empuja ligeramente hacia abajo, se genera una mayor fuerza de flotación que, al no ser contrarrestada por el peso, los impulsa hacia arriba.

La estabilidad rotacional es de suma importancia para las embarcaciones. Ante un pequeño desplazamiento angular, la embarcación puede regresar a su posición original (estable), alejarse de ella (inestable) o permanecer en su lugar (neutral).

La estabilidad rotacional depende de las líneas de acción relativas de las fuerzas que actúan sobre un objeto. La fuerza de flotación ascendente actúa a través del centro de flotación, que es el centroide del volumen de fluido desplazado. La fuerza del peso actúa a través de su centro de gravedad . Un objeto flotante será estable si su centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación, ya que cualquier desplazamiento angular producirá entonces un momento de enderezamiento .

La estabilidad de un objeto flotante en la superficie es compleja, y puede permanecer estable incluso si el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotabilidad, siempre que, al ser perturbado desde la posición de equilibrio, el centro de flotabilidad se desplace aún más hacia el mismo lado que el centro de gravedad, generando así un momento de enderezamiento positivo. Si esto ocurre, se dice que el objeto flotante tiene una altura metacéntrica positiva . Esta situación suele ser válida para un rango de ángulos de escora, más allá del cual el centro de flotabilidad no se desplaza lo suficiente como para generar un momento de enderezamiento positivo, y el objeto se vuelve inestable. Es posible pasar de positivo a negativo o viceversa más de una vez durante una perturbación de escora, y muchas formas son estables en más de una posición.

La flotabilidad es una característica de cualquier objeto con un volumen inmerso en un fluido con una densidad determinada, sometido a un campo gravitatorio o a una aceleración. Existen tres posibles estados de flotabilidad. ^{[ 10 ]}

Cuando un objeto sumergido asciende o desciende a través de un fluido, la presión externa sobre él cambia y, dado que todos los objetos son compresibles en cierta medida, su volumen también lo hace. La flotabilidad depende del volumen, por lo que disminuye si un objeto se comprime y aumenta si se expande. La flotabilidad también cambia si varía la densidad del fluido externo.

Si un objeto en equilibrio tiene una compresibilidad menor que la del fluido circundante, su equilibrio es estable y, ante un desplazamiento de la profundidad neutra en una corrección, volverá a la posición neutra. Sin embargo, si su compresibilidad es mayor, su equilibrio es inestable y se eleva y expande ante la más mínima perturbación ascendente, o se comprime ante la más mínima perturbación descendente.

Si el peso de un objeto es menor que el peso del fluido desplazado cuando está completamente sumergido, entonces el objeto tiene una densidad promedio menor que la del fluido y cuando está completamente sumergido experimentará una fuerza de flotación mayor que su propio peso. Esto se llama flotabilidad positiva . ^{[ 13 ]} Si el fluido tiene una superficie, como el agua en un lago o el mar, el objeto flotará y se asentará a un nivel donde desplaza el mismo peso de fluido que el peso del objeto. Si el objeto está sumergido en el fluido, como un submarino sumergido o el aire en un globo, tenderá a ascender. Si el objeto tiene exactamente la misma densidad promedio que el fluido, entonces su flotabilidad es igual a su peso. Permanecerá sumergido en el fluido, pero no se hundirá ni flotará, aunque una perturbación en cualquier dirección hará que se aleje de su posición. Esto se llama flotabilidad neutra . Un objeto con una densidad promedio mayor que la del fluido nunca experimentará más flotabilidad que peso y se hundirá. Esto se llama flotabilidad negativa . Un barco flotará aunque esté hecho de acero (que es mucho más denso que el agua), porque encierra un volumen de aire (que es mucho menos denso que el agua), y la forma resultante tiene una densidad media menor que la del agua. ^{[ 14 ]}

• Cayendo en el agua
• WH Besant (1889) Hidrostática elemental de Google Books .
• Definición de flotabilidad según la NASA