Conjuntos superiores e inferiores

En matemáticas , un conjunto superior${\displaystyle S}$de un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle X}$es un subconjunto tal que si s está en S y si x en X es mayor que s , entonces x está en S. Un conjunto inferior se define de manera similar como un subconjunto S de X con la propiedad de que cualquier elemento x de X que precede a un elemento de S es necesariamente también un elemento de S.

Los conjuntos superiores e inferiores también se conocen con muchos otros nombres. Un conjunto superior puede denominarse conjunto cerrado ascendente , conjunto ascendente , conjunto isótono o filtro de orden , mientras que un conjunto inferior puede denominarse conjunto cerrado descendente , conjunto descendente , conjunto decreciente , semiideal o ideal de orden . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Sin embargo, los términos «ideal de orden» y «filtro de orden» también se utilizan para una noción más restrictiva. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle (X,\leq )}$ser un conjunto preordenado (lo mismo que un conjunto parcialmente ordenado excepto por el requisito${\displaystyle x\leq y,\,y\leq x}$reticente${\displaystyle x=y}$se cae).

Un conjunto superior en${\displaystyle X}$(también llamado conjunto cerrado ascendente , conjunto ascendente , conjunto creciente o conjunto isótono ) ^{[ 1 ]} es un subconjunto${\displaystyle U}$que está "cerrado bajo el ascenso", en el siguiente sentido: para todo${\displaystyle u}$en${\displaystyle U}$y${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, si${\displaystyle u\leq x}$, entonces${\displaystyle x}$está en${\displaystyle U}$.

La noción dual es un conjunto inferior (también llamado conjunto cerrado descendente , conjunto descendente , conjunto decreciente o semiideal ), que es un subconjunto.${\displaystyle L}$que está "cerrado bajo bajando": para todos${\displaystyle l}$en${\displaystyle L}$y todo${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, si${\displaystyle x\leq l}$, entonces${\displaystyle x}$está en${\displaystyle L.}$

El término ideal de orden se usa a veces como sinónimo de conjunto inferior. ^{[ 4 ] [ 2 ] [ 5 ]} Sin embargo, un ideal también se define comúnmente como un conjunto inferior dirigido hacia arriba . ^{[ 3 ] [ 6 ]} De manera dual, un filtro es un conjunto superior dirigido hacia abajo (es decir, cada subconjunto finito tiene un límite inferior).

En un conjunto bien ordenado , un conjunto inferior se suele denominar segmento inicial .

Las siguientes propiedades se enuncian en términos de conjuntos superiores; las propiedades duales correspondientes para conjuntos inferiores también son válidas.

• Cada conjunto reservado es un conjunto superior en sí mismo.
• La intersección y la unión de cualquier familia de conjuntos superiores es, de nuevo, un conjunto superior.
• El complemento de un conjunto superior es un conjunto inferior, y viceversa.
• Dado un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (X,\leq ),}$la familia de conjuntos superiores de${\displaystyle X}$ordenado con la relación de inclusión es un retículo completo , el retículo del conjunto superior .
• Cada conjunto superior${\displaystyle Y}$de un conjunto parcialmente ordenado finito${\displaystyle X}$es igual al conjunto superior más pequeño que contiene todos los elementos mínimos de${\displaystyle Y.}$
• Para órdenes parciales que satisfacen la condición de cadena descendente , las anticadenas y los conjuntos superiores están en correspondencia biunívoca mediante las siguientes biyecciones : cada anticadena se asigna a su clausura superior (véase más abajo); a la inversa, cada conjunto superior se asigna al conjunto de sus elementos mínimos. Esta correspondencia no se cumple para órdenes parciales más generales; por ejemplo, los conjuntos de números reales.${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$y${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$ambos están mapeados a la anticadena vacía.

Los conjuntos superiores e inferiores aparecen en diversos campos de las matemáticas.

• En el conjunto totalmente ordenado de los números reales${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$, los conjuntos inferiores incluyen "rayos izquierdos" como${\displaystyle (-\infty ,3]}$y${\displaystyle (-\infty ,5)}$, así como el conjunto vacío${\displaystyle \emptyset }$y el conjunto completo. Los conjuntos superiores incluyen "rayos derechos" como${\displaystyle (3,\infty )}$y${\displaystyle [5,\infty )}$.
• En análisis real, un número real se define a menudo como un corte de Dedekind . Por definición, este es un subconjunto inferior propio no vacío de${\displaystyle \mathbb {Q} }$sin elemento máximo.
• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico y${\displaystyle x}$un punto en ello. Deja${\displaystyle F}$sea ​​el conjunto de todos los vecindarios (no necesariamente abiertos) de${\displaystyle x}$. Entonces${\displaystyle F}$es un conjunto superior en el conjunto de potencia de${\displaystyle X}$ordenado por inclusión, ya que cualquier conjunto que contenga un entorno del punto es un entorno de ese punto.
• Cualquier filtro en un conjunto${\displaystyle X}$es un conjunto superior en el conjunto de potencia de${\displaystyle X}$ordenado por inclusión. El ejemplo anterior del filtro de vecindad de un punto en un espacio topológico es un ejemplo de esto.
• Complejo simplicial abstracto : una familia de conjuntos que es cerrada hacia abajo con respecto a la relación de contención.

Dado un elemento${\displaystyle x}$de un conjunto reservado${\displaystyle (X,\leq ),}$el cierre superior o cierre hacia arriba de${\displaystyle x}$se define por

${\displaystyle \uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$

mientras que el cierre inferior o cierre hacia abajo de${\displaystyle x}$por

${\displaystyle \downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$^{[ 7 ]}

Conjuntos superior e inferior de la forma${\displaystyle \uparrow \!x}$y${\displaystyle \downarrow \!x}$se denominan principales . El cierre superior de un elemento es lo mismo que el filtro principal generado por ese elemento, ya que también está dirigido hacia abajo.

De manera más general, dado un subconjunto${\displaystyle A\subset X,}$el cierre superior y el cierre inferior de${\displaystyle A}$se definen como${\displaystyle \uparrow \!A=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$ y${\displaystyle \downarrow \!A=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a}$; ^{[ 7 ]} son, respectivamente, el conjunto superior más pequeño y el conjunto inferior que contiene${\displaystyle A}$. Los cierres superior e inferior, cuando se consideran como funciones del conjunto potencia de${\displaystyle X}$Los ejemplos de operadores de cierre de Kuratowski son aquellos que se aplican a sí mismos . Como resultado, el cierre superior de un conjunto es igual a la intersección de todos los conjuntos superiores que lo contienen, y de manera similar para los conjuntos inferiores.

En teoría de categorías , un poset puede ser (y a menudo es) visto como una categoría escribiendo un morfismo.${\displaystyle x\to y}$si y solo si${\displaystyle x\leq y}$. Luego el cierre inferior${\displaystyle \downarrow x}$corresponde a la categoría de rebanada sobre${\displaystyle x}$mientras que el cierre superior que debajo${\displaystyle x}$. ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un poset. Entonces tenemos ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow {\mathfrak {P}}(X)}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}$es el conjunto de potencias de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \eta (x)={\downarrow \!x}}$es el cierre inferior de${\displaystyle x}$El mapa${\displaystyle \eta }$es una incrustación en el sentido de que es inyectiva y monótona:

${\displaystyle x\leq y\Longleftrightarrow {\downarrow \!x}\subseteq {\downarrow \!y}.}$^{[ 10 ]}

Por lo tanto, la construcción anterior puede usarse para reemplazar un ordenamiento dado por inclusión de conjuntos y también produce ventajas como que siempre existe un límite superior mínimo (posiblemente fuera de la imagen de${\displaystyle \eta }$); es decir, una unión. Por ejemplo, este truco puede usarse para reducir una demostración del lema de Zorn al caso de conjuntos parcialmente ordenados de conjuntos. ^{[ 11 ]}

Como señala Paul Taylor, lo anterior${\displaystyle \eta }$es un análogo de una incrustación en el lema de Yoneda en la teoría de categorías. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

La imagen de${\displaystyle \eta }$se encuentra en el conjunto de todos los conjuntos inferiores en${\displaystyle X}$. Pero, más específicamente, se encuentra en el conjunto de todos los conjuntos inferiores dirigidos (ideales), denotado por${\displaystyle I(X)}$y llamó la finalización ideal de${\displaystyle X}$. ^{[ 14 ]} Entonces${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow I(X)}$satisface la propiedad universal que hace${\displaystyle I}$un functor libre en el sentido de que es adjunto izquierdo al functor olvidadizo de la categoría de dcpos a la categoría de posets. ^{[ 15 ]}

Se dice que una función entre conjuntos parcialmente ordenados es continua de Scott si es monótona (preserva${\displaystyle \leq }$) y preserva los conjuntos dirigidos. ^{[ 16 ]} Entonces un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle X}$lleva una topología donde un subconjunto${\displaystyle U}$está abierto si y solo si la función característica en${\displaystyle U}$es continua de Scott. Esta topología se llama topología de Scott . Explícitamente, un conjunto abierto en esta topología es exactamente un conjunto superior tal que si${\displaystyle \textstyle \sup _{i}x_{i}\in U}$para un conjunto dirigido${\displaystyle x_{i}}$, entonces${\displaystyle x_{i}}$está en${\displaystyle U}$para algunos${\displaystyle i}$. ^{[ 17 ]} La intuición aquí es que un sup corresponde a la mejor aproximación y por lo tanto, si la mejor aproximación está disponible en el conjunto, alguna aproximación finita ya está en ese conjunto.

La topología de Scott aparece de forma destacada en la teoría de dominios , una rama de la teoría del orden con una fuerte conexión con la informática. Al igual que la topología de Zariski utilizada en geometría algebraica, la topología de Scott es un ejemplo importante de un espacio topológico no Hausdorff .

El conjunto de todos los conjuntos inferiores de un poset dado${\displaystyle P}$puede ordenarse por inclusión. El poset resultante, denotado${\displaystyle J(P)}$, es una red (lo que significa que cada subconjunto de${\displaystyle J(P)}$tiene un límite superior mínimo y un límite inferior máximo), y de hecho un retículo distributivo (lo que significa que las dos operaciones de límite superior mínimo y límite inferior máximo se distribuyen entre sí). El teorema de representación de Birkhoff afirma que todo retículo distributivo finito surge (salvo isomorfismo) de esta manera como el retículo de conjuntos inferiores de un único poset finito.

• Conjunto cofinal – un subconjunto${\displaystyle U}$de un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (X,\leq )}$que contiene para cada elemento${\displaystyle x\in X,}$algún elemento${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x\leq y.}$

• Topología superior

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