El lema de Urysohn

En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si cualesquiera dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua . ^{[ 1 ]}

El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con diversas propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema se generaliza mediante (y se usa habitualmente en la demostración de) el teorema de extensión de Tietze .

El lema recibe su nombre del matemático Pavel Samuilovich Urysohn .

Dos subconjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que están separados por barrios si hay barrios.${\displaystyle U}$de${\displaystyle A}$y${\displaystyle V}$de${\displaystyle B}$que son disjuntos. En particular${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son necesariamente disjuntos.

Dos subconjuntos simples${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Se dice que están separadas por una función continua si existe una función continua.${\displaystyle f:X\to [0,1]}$de${\displaystyle X}$en el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle f(a)=0}$a pesar de${\displaystyle a\in A}$y${\displaystyle f(b)=1}$a pesar de${\displaystyle b\in B.}$Cualquier función de este tipo se denomina función de Urysohn para${\displaystyle A}$y${\displaystyle B.}$

De ello se deduce que si dos subconjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si dos subconjuntos están separados por una función, entonces también lo están sus clausuras. Además, se deduce que si dos subconjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están separados por una función entonces${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están separados por barrios.

Un espacio normal es un espacio topológico en el que cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante vecindades. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua.

Los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$no es necesario separarlos con precisión${\displaystyle f}$, es decir, no es necesario ni está garantizado que${\displaystyle f(x)\neq 0}$y${\displaystyle \neq 1}$para${\displaystyle x}$afuera${\displaystyle A}$y${\displaystyle B.}$Un espacio topológico${\displaystyle X}$en el que cada dos subconjuntos cerrados disjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$están precisamente separados por una función continua que es perfectamente normal .

_{El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas ,} como la «propiedad de Tychonoff» y los «espacios completamente Hausdorff». Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T1 normales son Tychonoff .

Un espacio topológico${\displaystyle X}$es normal si y solo si, para cualesquiera dos subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de${\displaystyle X,}$existe un mapa continuo${\displaystyle f:X\to [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle f(A)=\{0\}}$y${\displaystyle f(B)=\{1\}.}$

La demostración procede aplicando repetidamente la siguiente caracterización alternativa de la normalidad. Si${\displaystyle X}$es un espacio normal,${\displaystyle Z}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle Y\subsetequ Z}$Si está cerrado, entonces existe un abierto.${\displaystyle U}$y un cerrado${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle Y\subseteq U\subseteq V\subseteq Z}$.

Dejar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser subconjuntos cerrados disjuntos de${\displaystyle X}$La idea principal de la demostración es aplicar repetidamente esta caracterización de normalidad a${\displaystyle A}$y${\displaystyle B^{\complemento }}$, continuando con los nuevos conjuntos construidos en cada paso.

Los conjuntos que construimos están indexados por fracciones diádicas . Para cada fracción diádica${\displaystyle r\in (0,1)}$, construimos un subconjunto abierto${\displaystyle U(r)}$y un subconjunto cerrado${\displaystyle V(r)}$de${\displaystyle X}$de tal manera que:

• ${\displaystyle A\subsetequ U(r)}$y${\displaystyle V(r)\subseteq B^{\complement }}$a pesar de${\displaystyle r}$,
• ${\displaystyle U(r)\subseteq V(r)}$a pesar de${\displaystyle r}$,
• Para${\displaystyle r<s}$,${\displaystyle V(r)\subseteq U(s)}$.

Intuitivamente, los conjuntos${\displaystyle U(r)}$y${\displaystyle V(r)}$expandirse hacia afuera en capas desde${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccc}A&&&&&&&\subseteq &&&&&&&B^{\complemento }\\A&&&\subseteq &&&\ U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&&&\subseteq &&&B^{\complemento }\\A&\subseteq &U(1/4)&\subseteq &V(1/4)&\subseteq &U(1/2)&\subseteq &V(1/2)&\subseteq &U(3/4)&\subseteq &V(3/4)&\subseteq &B^{\complemento }\end{array}}}$

Esta construcción procede por inducción matemática . Para el paso base, definimos dos conjuntos adicionales.${\displaystyle U(1)=B^{\complemento }}$y${\displaystyle V(0)=A}$.

Ahora supongamos que${\displaystyle n\geq 0}$y que los conjuntos${\displaystyle U\left(k/2^{n}\right)}$y${\displaystyle V\left(k/2^{n}\right)}$ya se han construido para${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,2^{n}-1\}}$. Nótese que esto se satisface trivialmente para${\displaystyle n=0}$. Desde${\displaystyle X}$es normal, para cualquier${\displaystyle a\in \left\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\right\}}$, podemos encontrar un conjunto abierto y un conjunto cerrado tales que

${\displaystyle V\left({\frac {a}{2^{n}}}\right)\subseteq U\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq V\left({\frac {2a+1}{2^{n+1}}}\right)\subseteq U\left({\frac {a+1}{2^{n}}}\right)}$

A continuación, se verifican las tres condiciones anteriores.

Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos${\displaystyle f(x)=1}$si${\displaystyle x\not \in U(r)}$para cualquier${\displaystyle r}$; de lo contrario${\displaystyle f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}}$por cada${\displaystyle x\in X}$, dónde${\displaystyle \inf }$denota el ínfimo . Usando el hecho de que los racionales diádicos son densos , entonces no es demasiado difícil demostrar que${\displaystyle f}$es continuo y tiene la propiedad${\displaystyle f(A)\subsetequ \{0\}}$y${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}.}$Este paso requiere el${\displaystyle V(r)}$conjuntos para funcionar.

El proyecto Mizar ha formalizado completamente y comprobado automáticamente una demostración del lema de Urysohn en el archivo URYSOHN3 .

• Calmante

• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​ 
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

• "Lema de Urysohn" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba del sistema Mizar : https://www.mizar.org/version/current/html/urysohn3.html#T20