Condiciones de Inada

En macroeconomía , las condiciones de Inada , llamadas así por el economista japonés Ken-Ichi Inada , ^[1] son ​​supuestos sobre la forma de una función, generalmente aplicados a una función de producción o una función de utilidad . Cuando la función de producción de un modelo de crecimiento neoclásico satisface las condiciones de Inada, entonces garantiza la estabilidad de una trayectoria de crecimiento económico . Las condiciones como tales fueron introducidas por Hirofumi Uzawa . ^[2]

Dada una función continuamente diferenciable , donde y , las condiciones son: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right\}}$${\displaystyle Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} _{+}\right\}}$

1. El valor de la función en es 0:${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0}$
2. la función es cóncava en , es decir, la matriz hessiana debe ser negativa-semidefinida . ^[3] Económicamente, esto implica que los rendimientos marginales de los insumos son positivos, es decir , pero decrecientes, es decir,${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}>0}$${\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}^{2}<0}$
3. El límite de la primera derivada es infinito positivo cuando se acerca a 0: , lo que significa que el efecto de la primera unidad de entrada tiene el mayor efecto.${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=+\infty }$${\displaystyle x_{i}}$
4. el límite de la primera derivada es cero cuando se acerca al infinito positivo: , lo que significa que el efecto de una unidad adicional de entrada es 0 cuando se aproxima al uso de unidades infinitas de${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

La elasticidad de sustitución entre bienes se define para la función de producción como , donde es la tasa marginal de sustitución técnica . Se puede demostrar que las condiciones de Inada implican que la elasticidad de sustitución entre componentes es asintóticamente igual a uno (aunque la función de producción no es necesariamente asintóticamente Cobb-Douglas , una función de producción común para la que se cumple esta condición). ^{[4] [5]}${\displaystyle f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial \log(x_{i}/x_{j})}{\partial \log MRTS_{ji}}}}$${\displaystyle MRTS_{ji}({\bar {z}})={\frac {\partial f({\bar {z}})/\partial z_{j}}{\partial f({\bar {z}})/\partial z_{i}}}}$

En el modelo de crecimiento neoclásico estocástico , si la función de producción no satisface la condición de Inada en cero, cualquier camino factible converge a cero con probabilidad uno siempre que los shocks sean suficientemente volátiles. ^[6]

• Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Crecimiento económico (Segunda edición). Londres: MIT Press. pp. 26–30. ISBN 0-262-02553-1.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (tercera edición). Berlín: Springer. pp. 176-178. ISBN 3-540-60988-1.
• Romer, David (2011). "El modelo de crecimiento de Solow". Macroeconomía avanzada (cuarta edición). Nueva York: McGraw-Hill. pp. 6–48. ISBN 978-0-07-351137-5.