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Articulo de referencia

Estadístico V

Las estadísticas V son una clase de estadísticas que reciben su nombre de Richard von Mises , quien desarrolló su teoría de distribución asintótica en un artículo fundamental en...

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Las estadísticas V son una clase de estadísticas que reciben su nombre de Richard von Mises , quien desarrolló su teoría de distribución asintótica en un artículo fundamental en 1947. [ 1 ] Las estadísticas V están estrechamente relacionadas con las estadísticas U [ 2 ] [ 3 ] (U de " imparcial ") introducidas por Wassily Hoeffding en 1948. [ 4 ] Una estadística V es una función estadística (de una muestra) definida por un funcional estadístico particular de una distribución de probabilidad.

Funciones estadísticas

Estadísticas que pueden representarse como funcionesT(Fnorte){\displaystyle T(F_{n})}de la función de distribución empírica(Fnorte){\displaystyle (F_{n})}se denominan funcionales estadísticos . [ 5 ] La diferenciabilidad del funcional T juega un papel clave en el enfoque de von Mises; por lo tanto, von Mises considera funcionales estadísticos diferenciables . [ 1 ]

Ejemplos de funciones estadísticas

  1. El k -ésimo momento central es el funcionalT(F)=∫(incógnita−μ)kdF(incógnita){\displaystyle T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)}, dóndeμ=mi[incógnita]{\displaystyle \mu =E[X]}es el valor esperado de X. La función estadística asociada es el k -ésimo momento central de la muestra,
    Tnorte=metrok=T(Fnorte)=1norte∑i=1norte(incógnitai−incógnita¯)k.{\displaystyle T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.}
  2. El estadístico de bondad de ajuste chi-cuadrado es una función estadística T ( F n ), que corresponde a la función estadística
    T(F)=∑i=1k(∫AidF−pagi)2pagi,{\displaystyle T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},}

    donde A i son las k células y p i son las probabilidades especificadas de las células bajo la hipótesis nula.

  3. Las estadísticas de bondad de ajuste de Cramér-von-Mises y Anderson-Darling se basan en la función
    T(F)=∫(F(incógnita)−F0(incógnita))2w(incógnita;F0)dF0(incógnita),{\displaystyle T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),}

    donde w ( x ; F 0 ) es una función de ponderación especificada y F 0 es una distribución nula especificada. Si w es la función identidad, entonces T ( F n ) es el conocido estadístico de bondad de ajuste de Cramér-von-Mises ; si w(incógnita;F0)=[F0(incógnita)(1−F0(incógnita))]−1{\displaystyle w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}}entonces T ( F n ) es el estadístico de Anderson-Darling .

Representación como un estadístico V

Supongamos que x 1 , ..., x n es una muestra. En aplicaciones típicas, la función estadística tiene una representación como el estadístico V.

Vmetronorte=1nortemetro∑i1=1norte⋯∑imetro=1norteh(incógnitai1,incógnitai2,…,incógnitaimetro),{\displaystyle V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),}

donde h es una función núcleo simétrica. Serfling [ 6 ] analiza cómo encontrar el núcleo en la práctica. V mn se denomina estadística V de grado m . 

Un núcleo simétrico de grado 2 es una función h ( x , y ), tal que h ( x , y ) = h ( y , x ) para todo x e y en el dominio de h. Para muestras x 1 , ..., x n , se define el estadístico V correspondiente. 

V2,norte=1norte2∑i=1norte∑j=1norteh(incógnitai,incógnitaj).{\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).}

Ejemplo de un estadístico V

  1. Un ejemplo de un estadístico V de grado 2 es el segundo momento central m 2 . Si h ( x , y ) = ( x − y ) 2 /2, el estadístico V correspondiente es
    V2,norte=1norte2∑i=1norte∑j=1norte12(incógnitai−incógnitaj)2=1norte∑i=1norte(incógnitai−incógnita¯)2,{\displaystyle V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},}

    que es el estimador de máxima verosimilitud de la varianza . Con el mismo núcleo, el estadístico U correspondiente es la varianza muestral (insesgada):

    s2=(norte2)−1∑i<j12(incógnitai−incógnitaj)2=1norte−1∑i=1norte(incógnitai−incógnita¯)2{\displaystyle s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}.

Distribución asintótica

En los ejemplos 1 a 3, la distribución asintótica del estadístico es diferente: en (1) es normal , en (2) es chi-cuadrado y en (3) es una suma ponderada de variables chi-cuadrado.

El enfoque de Von Mises es una teoría unificadora que abarca todos los casos anteriores. [ 1 ] De manera informal, el tipo de distribución asintótica de una función estadística depende del orden de "degeneración", que está determinado por cuál es el primer término no nulo en el desarrollo de Taylor del funcional T. En caso de que sea el término lineal, la distribución límite es normal; de lo contrario, surgen tipos de distribuciones de orden superior (bajo condiciones adecuadas tales que se cumple un teorema del límite central). 

Existe una jerarquía de casos paralela a la teoría asintótica de las estadísticas U. [ 7 ] Sea A ( m ) la propiedad definida por:

Soy ) :​
  1. Var( h ( X 1 , ..., X k )) = 0 para k < m , y Var( h ( X 1 , ..., X k )) > 0 para k = m ;
  2. n m /2 R mn tiende a cero (en probabilidad). ( R mn es el término restante en la serie de Taylor para T .)

Caso m = 1 (núcleo no degenerado):

Si A (1) es verdadero, el estadístico es una media muestral y el Teorema del Límite Central implica que T(F n ) es asintóticamente normal .

En el ejemplo de varianza (4), m 2 es asintóticamente normal con mediaσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}y varianza(μ4−σ4)/norte{\displaystyle (\mu _{4}-\sigma ^{4})/n}, dóndeμ4=mi(incógnita−mi(incógnita))4{\displaystyle \mu _{4}=E(X-E(X))^{4}}.

Caso m = 2 (núcleo degenerado):

Supongamos que A (2) es verdadera ymi[h2(incógnita1,incógnita2)]<∞,mi|h(incógnita1,incógnita1)|<∞,{\displaystyle E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,}ymi[h(incógnita,incógnita1)]≡0{\displaystyle E[h(x,X_{1})]\equiv 0}. Entonces nV 2,n converge en distribución a una suma ponderada de variables chi-cuadrado independientes:

norteV2,norte⟶d∑k=1∞λkZk2,{\displaystyle nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},}

dóndeZk{\displaystyle Z_{k}}son variables normales estándar independientes yλk{\displaystyle \lambda _{k}}son constantes que dependen de la distribución F y del funcional T. En este caso, la distribución asintótica se denomina forma cuadrática de variables aleatorias gaussianas centradas . El estadístico V 2, n se denomina estadístico V de núcleo degenerado . El estadístico V asociado al funcional de Cramer-von Mises [ 1 ] (Ejemplo 3) es un ejemplo de estadístico V de núcleo degenerado. [ 8 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 4 von Mises (1947)
  2. ↑ Lee (1990)
  3. ↑ Koroljuk y Borovskich (1994)
  4. ↑ Hoeffding (1948)
  5. ↑ von Mises (1947), pág. 309; Serfling (1980), pág. 210.
  6. ↑ Serfling (1980, Sección 6.5)
  7. ↑ Serfling (1980, Cap. 5–6); Lee (1990, Cap. 3)
  8. ↑ Véase Lee (1990, p. 160) para la función kernel.

Referencias

  • Hoeffding, W. (1948). "Una clase de estadísticos con distribución asintóticamente normal" . Annals of Mathematical Statistics . 19 (3): 293– 325. doi : 10.1214/aoms/1177730196 . JSTOR 2235637 . 
  • Koroljuk, VS; Borovskich, Yu.V. (1994). Teoría de la estadística U (traducción al inglés de PVMalyshev y DVMalyshev de la  edición ucraniana de 1989). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2608-3.
  • Lee, AJ (1990).U -Estadística: teoría y práctica . Nueva York: Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-8253-4.
  • Neuhaus, G. (1977). "Teoremas límite funcionales para estadísticas U en el caso degenerado" . Journal of Multivariate Analysis . 7 (3): 424– 439. doi : 10.1016/0047-259X(77)90083-5 .
  • Rosenblatt, M. (1952). "Teoremas límite asociados con variantes de la estadística de von Mises" . Annals of Mathematical Statistics . 23 (4): 617– 623. doi : 10.1214/aoms/1177729341 . JSTOR 2236587 . 
  • Serfling, RJ (1980). Teoremas de aproximación de la estadística matemática . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
  • Taylor, RL; Daffer, PZ; Patterson, RF (1985). Teoremas límite para sumas de variables aleatorias intercambiables . Nueva Jersey: Rowman and Allanheld.
  • von Mises, R. (1947). "Sobre la distribución asintótica de funciones estadísticas diferenciables" . Annals of Mathematical Statistics . 18 (2): 309– 348. doi : 10.1214/aoms/1177730385 . JSTOR 2235734 .