Distribución de Van Houtum

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de Van Houtum es una distribución de probabilidad discreta que recibe su nombre del profesor Geert-Jan van Houtum. ^{[ 1 ]} Se caracteriza porque todos los valores de un conjunto finito de valores posibles son igualmente probables, excepto el elemento más pequeño y el más grande de dicho conjunto. Dado que la distribución de Van Houtum es una generalización de la distribución uniforme discreta , es decir, es uniforme salvo posiblemente en sus límites, a veces también se la denomina cuasiuniforme .

Es frecuente que la única información disponible sobre una variable aleatoria discreta sean sus dos primeros momentos. La distribución de Van Houtum puede utilizarse para ajustar una distribución con soporte finito a estos momentos.

Un ejemplo sencillo de la distribución de Van Houtum surge al lanzar un dado trucado que ha sido manipulado para que caiga en un 6 el doble de veces que en un 1. Los posibles valores del espacio muestral son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Cada vez que se lanza el dado, la probabilidad de obtener un 2, 3, 4 o 5 es 1/6; la probabilidad de obtener un 1 es 1/9 y la probabilidad de obtener un 6 es 2/9.

Una variable aleatoria U tiene una distribución de Van Houtum ( a , b , p _a , p _b ) si su función de masa de probabilidad es

${\displaystyle \Pr(U=u)={\begin{cases}p_{a}&{\text{si }}u=a;\\[8pt]p_{b}&{\text{si }}u=b\\[8pt]{\dfrac {1-p_{a}-p_{b}}{ba-1}}&{\text{si }}a<u<b\\[8pt]0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

Supongamos que existe una variable aleatoria.${\displaystyle X}$tiene significa${\displaystyle \mu }$y coeficiente de variación al cuadrado${\displaystyle c^{2}}$. Dejar${\displaystyle U}$sea ​​una variable aleatoria con distribución de Van Houtum. Entonces, los dos primeros momentos de${\displaystyle U}$coincide con los dos primeros momentos de${\displaystyle X}$si${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle p_{a}}$y${\displaystyle p_{b}}$se eligen de tal manera que: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\left\lceil \mu -{\frac {1}{2}}\left\lceil {\sqrt {1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil \right\rceil \\[8pt]b&=\left\lfloor \mu +{\frac {1}{2}}\left\lceil {\sqrt {1+12c^{2}\mu ^{2}}}\right\rceil \right\rfloor \\[8pt]p_{b}&={\frac {(c^{2}+1)\mu ^{2}-A-(a^{2}-A)(2\mu -ab)/(ab)}{a^{2}+b^{2}-2A}}\\[8pt]p_{a}&={\frac {2\mu -ab}{ab}}+p_{b}\\[12pt]{\text{donde }}A&={\frac {2a^{2}+a+2ab-b+2b^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$

No existe una distribución de Van Houtum para cada combinación de${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle c^{2}}$. Utilizando el hecho de que para cualquier medio real${\displaystyle \mu }$La distribución discreta en los enteros que tiene varianza mínima se concentra en los enteros.${\displaystyle \lfloor \mu \rfloor }$y${\displaystyle \lceil \mu \rceil }$, es fácil verificar que una distribución de Van Houtum (o de hecho cualquier distribución discreta en los enteros) solo se puede ajustar en los dos primeros momentos si ^{[ 3 ]}

${\displaystyle c^{2}\mu ^{2}\geq (\mu -\lfloor \mu \rfloor )(1+\mu -\lceil \mu \rceil )^{2}+(\mu -\lfloor \mu \rfloor )^{2}(1+\mu -\lceil \mu \rceil ).}$