El método de Van der Corput

En matemáticas, el método de van der Corput genera estimaciones para sumas exponenciales . El método aplica dos procesos, los procesos A y B de van der Corput , que relacionan las sumas en sumas más simples que son más fáciles de estimar.

Los procesos se aplican a sumas exponenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

donde f es una función suficientemente suave y e ( x ) denota exp(2πi x ).

Para aplicar el proceso A, escriba la primera diferencia f _h ( x ) para f ( x + h )− f ( x ).

Supongamos que existe H ≤ b − a tal que

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{bh}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq ba\ .}$

Entonces

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {ba}{\sqrt {H}}}\ .}$

El proceso B transforma la suma que involucra a f en una que involucra una función g definida en términos de la derivada de f. Supongamos que f' es monótona creciente con f ' ( a ) = α, f ' ( b ) = β. Entonces f ' es invertible en [α,β] con inversa u, digamos. Supongamos además que f '' ≥ λ > 0. Escriba

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

Tenemos

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

Al aplicar nuevamente el Proceso B a la suma que involucra a g, se obtiene la suma sobre f y, por lo tanto, no se obtiene información adicional.

El método de pares de exponentes proporciona una clase de estimaciones para funciones con una propiedad de suavidad particular. Fijemos los parámetros N , R , T , s , δ. Consideramos funciones f definidas en un intervalo [ N , 2N ] que son R veces continuamente diferenciables , satisfaciendo

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-sr}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-sr}\ }$

uniformemente en [ a , b ] para 0 ≤ r < R .

Decimos que un par de números reales ( k , l ) con 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 es un par exponencial si para cada σ > 0 existen δ y R que dependen de k , l , σ tales que

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

uniformemente en f .

Mediante el Proceso A encontramos que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces también lo es.${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$. Mediante el proceso B encontramos que también es${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$.

Una cota trivial muestra que (0,1) es un par de exponentes.

El conjunto de pares de exponentes es convexo.

Se sabe que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces la función zeta de Riemann en la línea crítica satisface

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

dónde${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$.

La conjetura del par de exponentes afirma que para todo ε > 0, el par (ε,1/2+ε) es un par de exponentes. Esta conjetura implica la hipótesis de Lindelöf .

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• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Vol.  84. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 . 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .