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Articulo de referencia

Desigualdad de Van der Corput

En matemáticas , la desigualdad de van der Corput es un corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que resulta útil en el estudio de correlaciones entre vectores y, por lo ta...

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En matemáticas , la desigualdad de van der Corput es un corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que resulta útil en el estudio de correlaciones entre vectores y, por lo tanto, entre variables aleatorias . También es útil en el estudio de secuencias equidistribuidas , por ejemplo, en la estimación de equidistribución de Weyl . En términos generales, la desigualdad de van der Corput afirma que si un vector unitariov{\displaystyle v}en un espacio interior del productoV{\displaystyle V}está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitariostú1,…,túnorte∈V{\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in V}, entonces muchos de los parestúi,túj{\displaystyle u_{i},u_{j}}deben estar fuertemente correlacionados entre sí. Aquí, la noción de correlación se precisa mediante el producto interno del espacio.V{\displaystyle V}: cuando el valor absoluto de⟨tú,v⟩{\displaystyle \langle u,v\rangle }está cerca de1{\displaystyle 1}, entoncestú{\displaystyle u}yv{\displaystyle v}se consideran fuertemente correlacionados. (En términos más generales, si los vectores involucrados no son vectores unitarios, entonces una fuerte correlación significa que|⟨tú,v⟩|≈‖tú‖‖v‖{\displaystyle |\langle u,v\rangle |\approx \|u\|\|v\|}.)

Declaración de la desigualdad

DejarV{\displaystyle V}ser un espacio de producto interno real o complejo con producto interno⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }y norma inducida‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}. Supongamos quev,tú1,…,túnorte∈V{\displaystyle v,u_{1},\dots ,u_{n}\in V}y eso‖v‖=1{\displaystyle \|v\|=1}. Entonces

(∑i=1norte|⟨v,túi⟩|)2≤∑i,j=1norte|⟨túi,túj⟩|.{\displaystyle \displaystyle \left(\sum _ {i=1}^{n}|\langle v,u_ {i}\rangle |\right)^{2}\leq \sum _ {i,j=1}^{n}|\langle u_ {i},u_ {j}\rangle |.}

En términos de la heurística de correlación mencionada anteriormente, siv{\displaystyle v}está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitariostú1,…,túnorte∈V{\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in V}, entonces el lado izquierdo de la desigualdad será grande, lo que obliga a una proporción significativa de los vectorestúi{\displaystyle u_{i}}estar fuertemente correlacionados entre sí.

Demostración de la desigualdad

Comenzamos por observar que para cualquieri∈1,…,norte{\displaystyle i\in 1,\dots ,n}existeϵi{\displaystyle \epsilon _{i}}(real o complejo) tal que|ϵi|=1{\displaystyle |\epsilon _ {i}|=1}y|⟨v,túi⟩|=ϵi⟨v,túi⟩{\displaystyle |\langle v,u_ {i}\rangle |=\epsilon _ {i}\langle v,u_ {i}\rangle }. Entonces,

(∑i=1norte|⟨v,túi⟩|)2{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|\langle v,u_{i}\rangle \right|\right)^{2}}
=(∑i=1norteϵi⟨v,túi⟩)2{\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle \right)^{2}}
=(⟨v,∑i=1norteϵitúi⟩)2{\displaystyle =\left(\left\langle v,\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\rangle \right)^{2}}ya que el producto interno es bilineal
≤‖v‖2‖∑i=1norteϵitúi‖2{\displaystyle \leq \|v\|^{2}\left\|\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\|^{2}}por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
=‖v‖2⟨∑i=1norteϵitúi,∑j=1norteϵitúj⟩{\displaystyle =\|v\|^{2}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{i}u_{j}\right\rangle }por la definición de la norma inducida
=∑i,j=1norteϵiϵj⟨túi,túj⟩{\displaystyle =\sum _{i,j=1}^{n}\epsilon _{i}\epsilon _{j}\langle u_{i},u_{j}\rangle }desdev{\displaystyle v}es un vector unitario y el producto interno es bilineal.
≤∑i,j=1norte|⟨túi,túj⟩|{\displaystyle \leq \sum _ {i,j=1}^{n}|\langle u_ {i},u_ {j}\rangle |}desde|ϵi|=1{\displaystyle |\epsilon _ {i}|=1}a pesar dei{\displaystyle i}.
  • Una entrada de blog de Terence Tao sobre la transitividad de la correlación, incluyendo la desigualdad de van der Corput.