Variable-mass system

In mechanics, a variable-mass system is a collection of matter whose mass varies with time. It can be confusing to try to apply Newton's second law of motion directly to such a system.^[1][2] Instead, the time dependence of the mass m can be calculated by rearranging Newton's second law and adding a term to account for the momentum carried by mass entering or leaving the system. The general equation of variable-mass motion is written as

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

where F_ext is the net external force on the body, v_rel is the relative velocity of the escaping or incoming mass with respect to the center of mass of the body, and v is the velocity of the body.^[3] In astrodynamics, which deals with the mechanics of rockets, the term v_rel is often called the effective exhaust velocity and denoted v_e.^[4]

There are different derivations for the variable-mass system motion equation, depending on whether the mass is entering or leaving a body (in other words, whether the moving body's mass is increasing or decreasing, respectively). To simplify calculations, all bodies are considered as particles. It is also assumed that the mass is unable to apply external forces on the body outside of accretion/ablation events.

The following derivation is for a body that is gaining mass (accretion). A body of time-varying mass m moves at a velocity v at an initial time t. In the same instant, a particle of mass dm moves with velocity u with respect to ground. The initial momentum can be written as^[5]

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

Ahora, en un instante t + d t , supongamos que tanto el cuerpo principal como la partícula se acumulan en un cuerpo con velocidad v + d v . Por lo tanto, el nuevo momento del sistema se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} }$

Dado que d m d v es el producto de dos valores pequeños, puede ignorarse, lo que significa que durante d t el momento del sistema varía para

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$

Por lo tanto, según la segunda ley de Newton

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

Observando que u - v es la velocidad de d m relativa a m , simbolizada como v _rel , esta ecuación final se puede ordenar como ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

Por definición de aceleración , a = d v /d t , por lo que la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }$

En los cuerpos que no se tratan como partículas, a debe ser reemplazado por a _cm , la aceleración del centro de masa del sistema, lo que significa

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

A menudo, la fuerza debida al empuje se define como${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$de modo que

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

Esta forma muestra que un cuerpo puede tener aceleración debido al empuje incluso si no actúan fuerzas externas sobre él ( F _ext = 0). Finalmente, observe que si se hace que F _neta sea la suma de F _ext y F _empuje , entonces la ecuación recupera la forma habitual de la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

ecuación ideal del cohete

La ecuación del cohete ideal , o ecuación del cohete de Tsiolkovsky , se puede utilizar para estudiar el movimiento de vehículos que se comportan como un cohete (donde un cuerpo se acelera expulsando parte de su masa, un propulsor , a alta velocidad). Se puede derivar de la ecuación general de movimiento para sistemas de masa variable de la siguiente manera: cuando no actúan fuerzas externas sobre un cuerpo ( F _ext = 0), la ecuación de movimiento del sistema de masa variable se reduce a ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$

Si se supone que la velocidad del propulsor eyectado, v _rel , tiene la dirección opuesta a la aceleración del cohete, d v /d t , el equivalente escalar de esta ecuación se puede escribir como

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}}$

de la cual d t se puede cancelar para dar

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,}$

La integración por separación de variables da como resultado:

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}}$

Al reordenar y hacer Δ v = v ₁ - v ₀ , se llega a la forma estándar de la ecuación del cohete ideal:

${\displaystyle \Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

donde m ₀ es la masa total inicial, incluyendo el propulsor, m ₁ es la masa total final, v _rel es la velocidad de escape efectiva (a menudo denotada como v _e ), y Δ v es el cambio máximo de velocidad del vehículo (cuando no actúan fuerzas externas).