Integrador variacional

Los integradores variacionales son integradores numéricos para sistemas hamiltonianos derivados de las ecuaciones de Euler-Lagrange de un principio de Hamilton discretizado . Los integradores variacionales conservan el momento y son simplécticos .

Consideremos un sistema mecánico con un único grado de libertad de partícula descrito por el lagrangiano.

$${\displaystyle L(t,q,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(q),}$$

dónde${\displaystyle m}$es la masa de la partícula, y${\displaystyle V}$es un potencial. Para construir un integrador variacional para este sistema, comenzamos por formar el lagrangiano discreto . El lagrangiano discreto aproxima la acción del sistema durante un intervalo de tiempo corto:

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})&={\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)+L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\&\approx \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{aligned}}}$$

Aquí hemos optado por aproximar la integral de tiempo utilizando el método del trapecio, y utilizamos una aproximación lineal a la trayectoria,

$${\displaystyle q(t)\approx {\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}(t-t_{0})+q_{0}}$$

entre${\displaystyle t_{0}}$y${\displaystyle t_{1}}$, lo que resulta en una velocidad constante${\displaystyle v\approx \left(q_{1}-q_{0}\right)/\left(t_{1}-t_{0}\right)}$. Diferentes elecciones para la aproximación a la trayectoria y la integral temporal dan lugar a diferentes integradores variacionales. El orden de precisión del integrador está controlado por la precisión de nuestra aproximación a la acción; dado que

$${\displaystyle L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},}$$

Nuestro integrador tendrá una precisión de segundo orden.

Las ecuaciones de evolución para el sistema discreto pueden derivarse de un principio de acción estacionaria. La acción discreta sobre un intervalo de tiempo prolongado es una suma de lagrangianos discretos sobre muchos subintervalos:

$${\displaystyle S_{d}=L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})+L_{d}(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2})+\cdots .}$$

El principio de acción estacionaria establece que la acción es estacionaria con respecto a variaciones de coordenadas que dejan fijos los extremos de la trayectoria. Por lo tanto, al variar la coordenada${\displaystyle q_{1}}$, tenemos

$${\displaystyle {\frac {\partial S_{d}}{\partial q_{1}}}=0={\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}\left(t_{1},t_{2},q_{1},q_{2}\right).}$$

Dada una condición inicial${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$y una secuencia de tiempos${\displaystyle (t_{0},t_{1},t_{2})}$Esto proporciona una relación que se puede resolver para${\displaystyle q_{2}}$La solución es

$${\displaystyle q_{2}=q_{1}+{\frac {t_{2}-t_{1}}{t_{1}-t_{0}}}(q_{1}-q_{0})-{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$$

Podemos escribir esto de una forma más simple si definimos los momentos discretos,

$${\displaystyle p_{0}\equiv -{\frac {\partial }{\partial q_{0}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})}$$

y

$${\displaystyle p_{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial q_{1}}}L_{d}(t_{0},t_{1},q_{0},q_{1}).}$$

Dada una condición inicial${\displaystyle (q_{0},p_{0})}$, la condición de acción estacionaria es equivalente a resolver la primera de estas ecuaciones para${\displaystyle q_{1}}$y luego determinar${\displaystyle p_{1}}$utilizando la segunda ecuación. Este esquema de evolución da

$${\displaystyle q_{1}=q_{0}+{\frac {t_{1}-t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}}}V(q_{0})}$$

y

$${\displaystyle p_{1}=m{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}-{\frac {t_{1}-t_{0}}{2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$$

Este es un esquema de integración por saltos para el sistema; dos pasos de esta evolución son equivalentes a la fórmula anterior para${\displaystyle q_{2}}$

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