Método multiescala variacional

Consideremos un dominio abierto y acotado.${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$con límite suave${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{d-1}}$, ser${\displaystyle d\geq 1}$el número de dimensiones espaciales. Denotando con${\displaystyle {\mathcal {L}}}$un operador diferencial genérico, de segundo orden y no simétrico, considérese el siguiente problema de valores en la frontera : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\text{encontrar }}u:\Omega \to \mathbb {R} {\text{ tal que}}:}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}u=f&{\text{ en }}\Omega \\u=g&{\text{ en }}\Gamma \\\end{cases}}}$

ser${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$y${\displaystyle g:\Gamma \to \mathbb {R} }$funciones dadas. Sea ${\displaystyle H^{1}(\Omega)}$Sea el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable con derivadas de cuadrado integrable: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H^{1}(\Omega )=\{f\in L^{2}(\Omega ):\nabla f\in L^{2}(\Omega )\}.}$

Considere el espacio de soluciones de prueba${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}}$y el espacio de funciones de ponderación ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$definido de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}=\{u\in H^{1}(\Omega ):\,u=g{\text{ en }}\Gamma \},}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=H_{0}^{1}(\Omega )=\{v\in H^{1}(\Omega ):\,v=0{\text{ on }}\Gamma \}.}$

La formulación variacional del problema de valores en la frontera definido anteriormente es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\text{find }}u\in {\mathcal {V}}_{g}{\text{ such that: }}a(v,u)=f(v)\,\,\,\,\forall v\in {\mathcal {V}}}$,

ser${\displaystyle a(v,u)}$la forma bilineal que satisface${\displaystyle a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)}$,${\displaystyle f(v)=(v,f)}$un funcional lineal acotado en${\displaystyle {\mathcal {V}}}$y${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$producto interno. ^{[ 2 ]} Además, el operador dual${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}}$de${\displaystyle {\mathcal {L}}}$se define como aquel operador diferencial tal que${\displaystyle {\mathcal {(}}v,{\mathcal {L}}u)=({\mathcal {L}}^{*}v,u)\,\,\,\forall u,\,v\in {\mathcal {V}}}$. ^{[ 7 ]}

En el enfoque VMS, los espacios de funciones se descomponen a través de una descomposición de suma directa multiescala para ambos${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}}$y${\displaystyle {\mathcal {V}}}$en subespacios de escalas gruesas y finas como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\bar {\mathcal {V}}}\oplus {\mathcal {V}}'}$

y

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}={\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}\oplus {\mathcal {V}}_{g}'.}$

Por lo tanto, se asume una descomposición de suma superpuesta para ambos.${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$como:

${\displaystyle u={\bar {u}}+u'{\text{ and }}v={\bar {v}}+v'}$,

dónde${\displaystyle {\bar {u}}}$representa las escalas gruesas (resolubles) y${\displaystyle u'}$las escalas finas (subcuadrícula), con${\displaystyle {\bar {u}}\in {\bar {{\mathcal {V}}_{g}}}}$,${\displaystyle {u'}\in {{\mathcal {V}}_{g}}'}$, ${\displaystyle {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}}$y${\displaystyle v'\in {\mathcal {V}}'}$. En particular, se hacen las siguientes suposiciones sobre estas funciones: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {u}}=g&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V_{g}}}},\\u'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &u'\in {\mathcal {V_{g}}}',\\{\bar {v}}=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &{\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\v'=0&&{\text{ on }}\Gamma &&\forall &v'\in {\mathcal {V}}'.\end{aligned}}}$

Teniendo esto en cuenta, la forma variacional se puede reescribir como

${\displaystyle a({\bar {v}}+v',{\bar {u}}+u')=f({\bar {v}}+v')}$

y, mediante el uso de la bilinealidad de${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$y linealidad de${\displaystyle f(\cdot )}$,

${\displaystyle a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')+a(v',{\bar {u}})+a(v',u')=f({\bar {v}})+f(v').}$

La última ecuación da lugar a un problema a gran escala y a otro a pequeña escala:

${\displaystyle {\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&a({\bar {v}},{\bar {u}})+a({\bar {v}},u')&=f({\bar {v}})&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}}&\,\,\,\,{\text{coarse-scale problem}}\\&&a(v',{\bar {u}})+a(v',u')&=f(v')&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'&\,\,\,\,{\text{fine-scale problem}}\\\end{aligned}}}$

o, equivalentemente, considerando que ${\displaystyle a(v,u)=(v,{\mathcal {L}}u)}$y${\displaystyle f(v)=(v,f)}$:

${\displaystyle {\text{find }}{\bar {u}}\in {\bar {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ and }}u'\in {\mathcal {V}}'{\text{ such that: }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&({\bar {v}},{\mathcal {L}}{\bar {u}})+({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')&=({\bar {v}},f)&&\forall {\bar {v}}\in {\bar {\mathcal {V}}},\\&&(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}})+(v',{\mathcal {L}}u')&=(v',f)&&\forall v'\in {\mathcal {V}}'.\\\end{aligned}}}$

Al reorganizar el segundo problema como${\displaystyle (v',{\mathcal {L}}u')=-(v',{\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)}$, la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente se lee: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}u'=-({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)&{\text{ in }}\Omega \\u'=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}}$

lo que demuestra que la solución a escala fina${\displaystyle u'}$depende del fuerte residuo de la ecuación de escala gruesa${\displaystyle {\mathcal {L}}{\bar {u}}-f}$. ^{[ 7 ]} La solución a escala fina se puede expresar en términos de${\displaystyle {\mathcal {L}}{\bar {u}}-f}$a través de la función de Green${\displaystyle G:\Omega \times \Omega \to \mathbb {R} {\text{ with }}G=0{\text{ on }}\Gamma \times \Gamma }$:

${\displaystyle u'(y)=-\int _{\Omega }G(x,y)({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,\,\,\forall y\in \Omega .}$

Dejar${\displaystyle \delta }$Sea la función delta de Dirac , por definición, la función de Green se encuentra resolviendo${\displaystyle \forall y\in \Omega }$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{*}G(x,y)=\delta (x-y)&{\text{ in }}\Omega \\G(x,y)=0&{\text{ on }}\Gamma \end{cases}}}$

Además, es posible expresar${\displaystyle u'}$en términos de un nuevo operador diferencial${\displaystyle {\mathcal {M}}}$que se aproxima al operador diferencial${\displaystyle -{\mathcal {L}}^{-1}}$como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle u'={\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f),}$ con${\displaystyle {\mathcal {M}}\approx -{\mathcal {L}}^{-1}}$. Para eliminar la dependencia explícita en la ecuación de escala gruesa de los términos de escala subgrid, considerando la definición del operador dual, la última expresión puede sustituirse en el segundo término de la ecuación de escala gruesa: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle ({\bar {v}},{\mathcal {L}}u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},u')=({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\bar {u}}-f)).}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es una aproximación de${\displaystyle -{\mathcal {L}}^{-1}}$La formulación multiescala variacional consistirá en encontrar una solución aproximada.${\displaystyle {\tilde {\bar {u}}}\approx {\bar {u}}}$en lugar de${\displaystyle {\bar {u}}}$. Por lo tanto, el problema grueso se reescribe como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\;\;\;a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=({\bar {v}},f)\;\;\;\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}},}$

ser

${\displaystyle ({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f))=-\int _{\Omega }\int _{\Omega }({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}})(y)G(x,y)({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}-f)(x)\,d\Omega _{x}\,d\Omega _{y}.}$

Presentando el formulario ^{[ 7 ]}

${\displaystyle B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=a({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}})+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}({\mathcal {L}}{\tilde {\bar {u}}}))}$

y la funcional

${\displaystyle L({\bar {v}},G)=({\bar {v}},f)+({\mathcal {L}}^{*}{\bar {v}},{\mathcal {M}}f)}$,

La formulación VMS de la ecuación de escala gruesa se reorganiza como: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\text{find }}{\tilde {\bar {u}}}\in {\mathcal {\bar {V}}}_{g}:\,B({\bar {v}},{\tilde {\bar {u}}},G)=L({\bar {v}},G)\,\,\,\forall {\bar {v}}\in {\mathcal {\bar {V}}}.}$

Dado que comúnmente no es posible determinar ambos${\displaystyle {\mathcal {M}}}$y${\displaystyle G}$, normalmente se adopta una aproximación. En este sentido, los espacios de escala gruesa${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{g}}$y${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}}$se eligen como espacio de funciones de dimensión finita como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{g}\equiv {\mathcal {V}}_{g_{h}}:={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}(\Omega )}$

y

${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}\equiv {\mathcal {V}}_{h}:={\mathcal {V}}\cap X_{h}^{r}(\Omega ),}$

ser${\displaystyle X_{r}^{h}(\Omega )}$el espacio de elementos finitos de polinomios lagrangianos de grado${\displaystyle r\geq 1}$sobre la malla incorporada${\displaystyle \Omega }$. ^{[ 4 ]} Nótese que${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}'}$y${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$son espacios de dimensión infinita, mientras que${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g_{h}}}$y${\displaystyle {\mathcal {V}}_{h}}$son espacios de dimensión finita.

Dejar${\displaystyle u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}}$y${\displaystyle v_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$ser respectivamente aproximaciones de${\displaystyle {\tilde {\bar {u}}}}$y${\displaystyle {\bar {v}}}$y dejar${\displaystyle {\tilde {G}}}$y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ser respectivamente aproximaciones de${\displaystyle G}$y${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. El problema VMS con aproximación de elementos finitos se lee: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:B(v_{h},u_{h},{\tilde {G}})=L(v_{h},{\tilde {G}})\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$

o, equivalentemente:

${\displaystyle {\text{find }}u_{h}\in {\mathcal {V}}_{g_{h}}:a(v_{h},u_{h})+({\mathcal {L}}^{*}v_{h},{\mathcal {\tilde {M}}}({\mathcal {L}}{u_{h}}-f))=(v_{h},f)\,\,\,\forall {v}_{h}\in {\mathcal {V}}_{h}}$

Para el problema de difusión por advección unidimensional, con una elección apropiada de funciones base y${\displaystyle \tau }$, VMS proporciona una proyección en el espacio de aproximación. ^{[ 9 ]} Además, una expresión basada en adjuntos para${\displaystyle \tau }$se puede derivar, ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \tau _{e}=-{\frac {{\mathcal {L}}({\tilde {z}},u_{h})_{e}}{(\phi _{e}L_{h}(u_{h})),L^{*}({\tilde {z}}))_{e}}}}$

dónde${\displaystyle \tau _{e}}$es el parámetro de estabilización por elemento,${\displaystyle {\mathcal {L}}({\tilde {z}},u_{h})_{e}}$es el residuo elemento a elemento y el adjunto${\displaystyle {\tilde {z}}}$resuelve problemas,

${\displaystyle {\mathcal {a}}({\tilde {z}},v)+L_{h}({\tilde {z}},v)=\int _{\Omega _{e}}v\,dx}$

De hecho, se puede demostrar que el${\displaystyle \tau }$Así calculado permite calcular la función lineal.${\displaystyle \int _{\Omega }u\,dx}$Exactamente. ^{[ 10 ]}

Consideremos las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles para un fluido newtoniano de densidad constante.${\displaystyle \rho }$en un dominio${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{d}}$con límite${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}}$, ser${\displaystyle \Gamma _{D}}$y${\displaystyle \Gamma _{N}}$porciones del límite donde se aplica respectivamente una condición de contorno de Dirichlet y una de Neumann (${\displaystyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$

ser${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$la velocidad del fluido,${\displaystyle p}$la presión del fluido,${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$un término de forzamiento dado,${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {n}}}}$el vector normal unitario dirigido hacia afuera a${\displaystyle \Gamma _{N}}$, y${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)}$El tensor de esfuerzos viscosos se define como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}}).}$

Dejar${\displaystyle \mu }$sea ​​la viscosidad dinámica del fluido,${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$el tensor identidad de segundo orden y${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})}$el tensor de velocidad de deformación definido como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}({\boldsymbol {u}})={\frac {1}{2}}((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T}).}$

Las funciones${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {h}}}$se les proporcionan datos de contorno de Dirichlet y Neumann, mientras que${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$es la condición inicial . ^{[ 4 ]}

Para encontrar una formulación variacional de las ecuaciones de Navier-Stokes, considérense los siguientes espacios de dimensión infinita: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0}=[H_{0}^{1}(\Omega )]^{d}=\{{\boldsymbol {u}}\in [H^{1}(\Omega )]^{d}:{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\},}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=L^{2}(\Omega ).}$

Además, dejemos${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}={\mathcal {V}}_{g}\times {\mathcal {Q}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}={\mathcal {V}}_{0}\times {\mathcal {Q}}}$. La forma débil de las ecuaciones de Navier-Stokes inestables e incompresibles se lee: ^{[ 4 ]} dado${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$,

${\displaystyle \forall t\in (0,T),\;{\text{find }}({\boldsymbol {u}},p)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}{\text{ such that }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigg (}{\boldsymbol {v}},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})+c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})-b({\boldsymbol {v}},p)+b({\boldsymbol {u}},q)=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}\;\;\forall ({\boldsymbol {v}},q)\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$representa el${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$producto interno y${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\Gamma _{N}}}$el${\displaystyle L^{2}(\Gamma _{N})}$producto interno. Además, las formas bilineales${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$,${\displaystyle b(\cdot ,\cdot )}$y la forma trilineal${\displaystyle c(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$se definen de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}a({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})=&(\nabla {\boldsymbol {v}},\mu ((\nabla {\boldsymbol {u}})+(\nabla {\boldsymbol {u}})^{T})),\\b({\boldsymbol {v}},q)=&(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}},q),\\c({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})=&({\boldsymbol {v}},\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}).\end{aligned}}}$

Para discretizar espacialmente las ecuaciones de Navier-Stokes, considérese el espacio de funciones de elementos finitos.

${\displaystyle X_{r}^{h}=\{u^{h}\in C^{0}({\overline {\Omega }}):u^{h}|_{k}\in \mathbb {P} _{r},\;\forall k\in \mathrm {T} _{h}\}}$

de polinomios lagrangianos por partes de grado${\displaystyle r\geq 1}$sobre el dominio${\displaystyle \Omega }$triangulado con una malla${\displaystyle \mathrm {T} _{h}}$formado por tetraedros de diámetros${\displaystyle h_{k}}$,${\displaystyle \forall k\in \mathrm {T} _{h}}$Siguiendo el enfoque mostrado anteriormente, introduzcamos una descomposición de suma directa multiescala del espacio${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}}$que representa o${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0}}$: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}={\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}\oplus {\boldsymbol {\mathcal {V}}}',}$

ser

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{g_{h}}\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{h}={\mathcal {V}}_{0_{h}}\times {\mathcal {Q}}}$

el espacio de funciones de dimensión finita asociado a la escala gruesa , y

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{g}'\times {\mathcal {Q}}{\text{ or }}{\boldsymbol {\mathcal {V}}}'={\mathcal {V}}_{0}'\times {\mathcal {Q}}}$

el espacio de funciones de escala fina de dimensión infinita , con

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g_{h}}={\mathcal {V}}_{g}\cap X_{r}^{h}}$,

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{0_{h}}={\mathcal {V}}_{0}\cap X_{r}^{h}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{h}={\mathcal {Q}}\cap X_{r}^{h}}$.

Una descomposición de suma superpuesta se define entonces como: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{h}+{\boldsymbol {u}}'{\text{ and }}p=p^{h}+p'\\&{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}^{h}+{\boldsymbol {v}}'\;{\text{ and }}q=q^{h}+q'\end{aligned}}}$

Al utilizar la descomposición anterior en la forma variacional de las ecuaciones de Navier-Stokes, se obtiene una ecuación de escala gruesa y otra de escala fina; los términos de escala fina que aparecen en la ecuación de escala gruesa se integran por partes y las variables de escala fina se modelan como: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}'\approx &-\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}),\\p'\approx &-\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}).\end{aligned}}}$

En las expresiones anteriores,${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})}$y${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})}$son los residuos de la ecuación de momento y la ecuación de continuidad en formas fuertes definidos como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})=&\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}^{h}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})-{\boldsymbol {f}},\\{\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}^{h},\end{aligned}}}$

mientras que los parámetros de estabilización se establecen iguales a: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\bigg (}{\frac {\sigma ^{2}\rho ^{2}}{\Delta t^{2}}}+{\frac {\rho ^{2}}{h_{k}^{2}}}|{\boldsymbol {u}}^{h}|^{2}+{\frac {\mu ^{2}}{h_{k}^{4}}}C_{r}{\bigg )}^{-1/2},\\\tau _{C}({\boldsymbol {u}}^{h})=&{\frac {h_{k}^{2}}{\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h})}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle C_{r}=60\cdot 2^{r-2}}$es una constante que depende del grado de los polinomios${\displaystyle r}$,${\displaystyle \sigma }$es una constante igual al orden de la fórmula de diferenciación hacia atrás (BDF) adoptada como esquema de integración temporal y${\displaystyle \Delta t}$es el paso de tiempo. ^{[ 13 ]} La formulación multiescala variacional semidiscreta (VMS-LES) de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se lee: ^{[ 13 ]} dado${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{0}}$,

${\displaystyle \forall t\in (0,T),\;{\text{find }}{\boldsymbol {U}}^{h}=\{{\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{g_{h}}{\text{ such that }}A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=F({\boldsymbol {V}}^{h})\;\;\forall {\boldsymbol {V}}^{h}=\{{\boldsymbol {v}}^{h},q^{h}\}\in {\boldsymbol {\mathcal {V}}}_{0_{h}},}$

ser

${\displaystyle A({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})+A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h}),}$

y

${\displaystyle F({\boldsymbol {V}}^{h})=({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {f}})+({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {h}})_{\Gamma _{N}}.}$

Los formularios${\displaystyle A^{NS}(\cdot ,\cdot )}$y${\displaystyle A^{VMS}(\cdot ,\cdot )}$se definen como: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{NS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&{\bigg (}{\boldsymbol {v}}^{h},\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}^{h}}{\partial t}}{\bigg )}+a({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})+c({\boldsymbol {v}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h},{\boldsymbol {u}}^{h})-b({\boldsymbol {v}}^{h},p^{h})+b({\boldsymbol {u}}^{h},q^{h}),\\A^{VMS}({\boldsymbol {V}}^{h},{\boldsymbol {U}}^{h})=&\underbrace {{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}^{h}+\nabla q^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{SUPG}}-\underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{c}({\boldsymbol {u}}_{h}){\boldsymbol {r}}_{C}({\boldsymbol {u}}^{h}))+{\big (}\rho {\boldsymbol {u}}^{h}\cdot (\nabla {\boldsymbol {u}}^{h})^{T},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}){\big )}} _{\text{VMS}}-\underbrace {(\nabla {\boldsymbol {v}}^{h},\tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h})\otimes \tau _{M}({\boldsymbol {u}}^{h}){\boldsymbol {r}}_{M}({\boldsymbol {u}}^{h},p^{h}))} _{\text{LES}}.\end{aligned}}}$

De las expresiones anteriores, se puede ver que: ^{[ 13 ]}

• el formulario${\displaystyle A^{NS}(\cdot ,\cdot )}$Contiene los términos estándar de las ecuaciones de Navier-Stokes en formulación variacional;
• el formulario${\displaystyle A^{VMS}(\cdot ,\cdot )}$Contienen cuatro términos:

1. El primer término es el término de estabilización SUPG clásico;
2. El segundo término representa un término de estabilización adicional al SUPG;
3. El tercer término es un término de estabilización típico del modelado VMS;
4. El cuarto término es peculiar del modelado LES, ya que describe la tensión transversal de Reynolds.