Dimensión de Kodaira

En geometría algebraica , la dimensión de Kodaira κ ( X ) mide el tamaño del modelo canónico de una variedad proyectiva X . 

El matemático soviético Igor Shafarevich introdujo en un seminario un importante invariante numérico de superficies con la notación κ . ^{[ 1 ]} El matemático japonés Shigeru Iitaka lo extendió y definió la dimensión de Kodaira para variedades de dimensiones superiores (bajo el nombre de dimensión canónica), ^{[ 2 ]} y más tarde la nombró en honor a Kunihiko Kodaira . ^{[ 3 ]}

El fibrado canónico de una variedad algebraica lisa X de dimensión n sobre un cuerpo es el fibrado lineal de n- formas,

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},}$

que es la n -ésima potencia exterior del fibrado cotangente de X. Para un entero d , la d -ésima potencia tensorial de K _X es nuevamente un fibrado lineal. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{d})}$Tiene la notable propiedad de ser un invariante birracional de variedades proyectivas suaves X. Es decir, este espacio vectorial se identifica canónicamente con el espacio correspondiente para cualquier variedad proyectiva suave que sea isomorfa a X fuera de subconjuntos de menor dimensión.

Para d ≥ 0, el d -ésimo plurigeno de X se define como la dimensión del espacio vectorial de secciones globales de${\displaystyle K_{X}^{d}}$:

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Los plurigéneros son invariantes birracionales importantes de una variedad algebraica. En particular, la forma más sencilla de demostrar que una variedad no es racional (es decir, no birracional al espacio proyectivo) es demostrar que algún plurigénero P _d con d > 0 no es cero. Si el espacio de secciones de${\displaystyle K_{X}^{d}}$Si es distinto de cero, entonces existe una aplicación racional natural de X al espacio proyectivo.

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

llamado el mapa d - canónico . El anillo canónico R ( K _X ) de una variedad X es el anillo graduado.

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Véase también género geométrico y género aritmético .

La dimensión de Kodaira de X se define como${\displaystyle -\infty }$si los plurigéneros P _d son cero para todo d > 0; de lo contrario, es el mínimo κ tal que P _d /d ^κ está acotado. La dimensión de Kodaira de una variedad n -dimensional es o${\displaystyle -\infty }$o un número entero en el rango de 0 a n .

Una variedad de tipo general X es aquella de dimensión Kodaira máxima (dimensión Kodaira igual a su dimensión):

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

Las condiciones equivalentes son que el haz de líneas${\displaystyle K_{X}}$es grande , o que el mapa d -canónico es genéricamente inyectivo (es decir, un mapa birracional a su imagen) para d suficientemente grande.

Por ejemplo, una variedad con un haz canónico amplio es de tipo general.

En cierto sentido, la mayoría de las variedades algebraicas son de tipo general. Por ejemplo, una hipersuperficie lisa de grado d en el espacio proyectivo n- dimensional es de tipo general si y solo si${\displaystyle d>n+1}$En ese sentido, la mayoría de las hipersuperficies suaves en el espacio proyectivo son de tipo general.

Las variedades de tipo general parecen demasiado complicadas para clasificarlas explícitamente, incluso para superficies. No obstante, existen algunos resultados positivos importantes sobre las variedades de tipo general. Por ejemplo, Enrico Bombieri demostró en 1973 que el mapa d -canónico de cualquier superficie compleja de tipo general es birracional para cada${\displaystyle d\geq 5}$De manera más general, Christopher Hacon y James McKernan , Shigeharu Takayama y Hajime Tsuji demostraron en 2006 que para cada entero positivo n , existe una constante${\displaystyle c(n)}$de tal manera que el mapa d -canónico de cualquier variedad compleja n -dimensional de tipo general sea birracional cuando${\displaystyle d\geq c(n)}$.

El grupo de automorfismos birracionales de una variedad de tipo general es finito.

Sea X una variedad de dimensión de Kodaira no negativa sobre un cuerpo de característica cero, y sea B el modelo canónico de X , B = Proj R ( X , K _X ); la dimensión de B es igual a la dimensión de Kodaira de X. Existe una aplicación racional natural X – → B ; cualquier morfismo obtenido a partir de ella mediante la explosión de X y B se denomina fibración de Iitaka . Las conjeturas del modelo mínimo y de abundancia implicarían que la fibra general de la fibración de Iitaka puede ser dispuesta como una variedad de Calabi-Yau , que en particular tiene dimensión de Kodaira cero. Además, existe un divisor Q efectivo Δ en B (no único) tal que el par ( B , Δ) es klt , K _B + Δ es amplio, y el anillo canónico de X es el mismo que el anillo canónico de ( B , Δ) en grados múltiplo de algún d > 0. ^{[ 5 ]} En este sentido, X se descompone en una familia de variedades de dimensión de Kodaira cero sobre una base ( B , Δ) de tipo general. (Nótese que la variedad B por sí misma no tiene por qué ser de tipo general. Por ejemplo, existen superficies de dimensión de Kodaira 1 para las cuales la fibración de Iitaka es una fibración elíptica sobre P ¹ ).

Dadas las conjeturas mencionadas, la clasificación de las variedades algebraicas se reduciría en gran medida a los casos de dimensión de Kodaira.${\displaystyle -\infty }$, 0 y tipo general. Para dimensión Kodaira${\displaystyle -\infty }$y 0, existen algunos enfoques para la clasificación. El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que cada variedad de dimensión de Kodaira${\displaystyle -\infty }$es unirulado , y se sabe que toda variedad unirulada en característica cero es birracional a un espacio de fibra de Fano . El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que toda variedad de dimensión 0 de Kodaira es birracional a una variedad de Calabi-Yau con singularidades terminales .

La conjetura de Iitaka afirma que la dimensión de Kodaira de una fibración es al menos la suma de la dimensión de Kodaira de la base y la dimensión de Kodaira de una fibra general; véase Mori (1987) para una revisión. La conjetura de Iitaka contribuyó a inspirar el desarrollo de la teoría del modelo mínimo en las décadas de 1970 y 1980. Actualmente se conoce en muchos casos y, en general, se derivaría de las conjeturas del modelo mínimo y de la abundancia.

Nakamura y Ueno demostraron la siguiente fórmula de aditividad para variedades complejas ( Ueno (1975) ). Si bien no se requiere que el espacio base sea algebraico, la suposición de que todas las fibras son isomorfas es muy particular. Incluso con esta suposición, la fórmula puede fallar cuando la fibra no es de Moishezon.

Sea π: V → W un fibrado analítico de variedades complejas compactas, lo que significa que π es localmente un producto (y por lo tanto todas las fibras son isomorfas como variedades complejas). Supongamos que la fibra F es una variedad de Moishezon . Entonces

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Clasificación Enriques-Kodaira
• Teorema de desaparición de Bogomolov-Sommese