Modelo de Vasicek

En finanzas , el modelo de Vasicek es un modelo matemático que describe la evolución de las tasas de interés . Es un tipo de modelo de tasa a corto plazo de un solo factor , ya que describe los movimientos de las tasas de interés como impulsados ​​por una sola fuente de riesgo de mercado . El modelo se puede utilizar en la valoración de derivados de tasas de interés y también se ha adaptado para los mercados de crédito. Fue introducido en 1977 por Oldřich Vašíček ^[1] y también puede verse como un modelo de inversión estocástico .

El modelo especifica que la tasa de interés instantánea sigue la ecuación diferencial estocástica :

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

donde W _t es un proceso de Wiener bajo el marco de neutralidad de riesgo que modela el factor de riesgo aleatorio del mercado, en el sentido de que modela la entrada continua de aleatoriedad en el sistema. El parámetro de desviación estándar , , determina la volatilidad de la tasa de interés y, de alguna manera, caracteriza la amplitud de la entrada instantánea de aleatoriedad. Los parámetros típicos y , junto con la condición inicial , caracterizan completamente la dinámica y se pueden caracterizar rápidamente de la siguiente manera, asumiendo que no son negativos: ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización b,a}$${\estilo de visualización \sigma}$$estilo de visualización r_{0}$${\estilo de visualización a}$

• ${\estilo de visualización b}$: "nivel medio a largo plazo". Todas las trayectorias futuras de evolucionarán en torno a un nivel medio b en el largo plazo;${\estilo de visualización r}$
• ${\estilo de visualización a}$:"velocidad de reversión". caracteriza la velocidad a la que dichas trayectorias se reagruparán en el tiempo;${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$
• ${\estilo de visualización \sigma}$: "volatilidad instantánea", mide instante a instante la amplitud de la aleatoriedad que entra al sistema. Cuanto mayor sea, mayor será la aleatoriedad.${\estilo de visualización \sigma}$

La siguiente cantidad derivada también es de interés:

• $Estilo de visualización: sigma ^{2}/(2a)}$: "variación a largo plazo". Todas las trayectorias futuras se reagruparán en torno a la media a largo plazo con dicha variación después de un largo tiempo.${\estilo de visualización r}$

${\estilo de visualización a}$y tienden a oponerse entre sí: al aumentar aumenta la cantidad de aleatoriedad que entra al sistema, pero al mismo tiempo, al aumentar aumenta la velocidad a la que el sistema se estabilizará estadísticamente alrededor de la media de largo plazo con un corredor de varianza determinado también por . Esto es claro cuando se observa la varianza de largo plazo, ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

que aumenta con pero disminuye con . ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización a}$

Este modelo es un proceso estocástico de Ornstein-Uhlenbeck . Hacer que la media de largo plazo sea estocástica con respecto a otra SDE es una versión simplificada de la SDE de cointelación. ^[2]

El modelo de Vasicek fue el primero en captar la reversión a la media , una característica esencial de la tasa de interés que la distingue de otros precios financieros. Así, a diferencia de los precios de las acciones , por ejemplo, las tasas de interés no pueden aumentar indefinidamente, ya que en niveles muy altos obstaculizarían la actividad económica, lo que provocaría una disminución de las tasas de interés. De manera similar, las tasas de interés no suelen disminuir por debajo de 0. Como resultado, las tasas de interés se mueven en un rango limitado, mostrando una tendencia a revertir a un valor de largo plazo.

El factor de deriva representa el cambio instantáneo esperado en la tasa de interés en el momento t . El parámetro b representa el valor de equilibrio de largo plazo hacia el cual la tasa de interés vuelve. De hecho, en ausencia de shocks ( ), la tasa de interés permanece constante cuando r _t = b . El parámetro a , que rige la velocidad de ajuste, debe ser positivo para asegurar la estabilidad en torno al valor de largo plazo. Por ejemplo, cuando r _t está por debajo de b , el término de deriva se vuelve positivo para a positivo , generando una tendencia a que la tasa de interés se mueva hacia arriba (hacia el equilibrio). ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle dW_{t}=0}$${\displaystyle a(b-r_{t})}$

La principal desventaja es que, bajo el modelo de Vasicek, es teóricamente posible que la tasa de interés se vuelva negativa, una característica indeseable bajo los supuestos previos a la crisis. Esta deficiencia fue corregida en el modelo de Cox-Ingersoll-Ross , el modelo exponencial de Vasicek, el modelo de Black-Derman-Toy y el modelo de Black-Karasinski , entre muchos otros. El modelo de Vasicek fue ampliado aún más en el modelo de Hull-White . El modelo de Vasicek también es un ejemplo canónico del modelo de estructura temporal afín , junto con el modelo de Cox-Ingersoll-Ross . En investigaciones recientes, ambos modelos se utilizaron para la partición y previsión de datos. ^[3]

Resolvemos la ecuación diferencial estocástica para obtener

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

Utilizando técnicas similares a las aplicadas al proceso estocástico de Ornstein-Uhlenbeck obtenemos que la variable de estado se distribuye normalmente con media

${\displaystyle \mathrm {E}[r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

y varianza

${\displaystyle \mathrm {Var}[r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

En consecuencia, tenemos

${\displaystyle \lim_{t\to \infty}\mathrm {E}[r_{t}]=b}$

y

${\displaystyle \lim _{t\to \infty}\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

En el supuesto de que no haya arbitraje, se puede fijar el precio de un bono con descuento en el modelo de Vasicek. El valor temporal de un bono con descuento con fecha de vencimiento es exponencialmente afín al tipo de interés: ${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}}$

dónde

${\displaystyle B(t,T)={\frac {1-e^{-a(Tt)}}{a}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(Tt)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)}$

• Proceso de Ornstein-Uhlenbeck .
• Modelo Hull-White
• Modelo de Cox-Ingersoll-Ross

• Hull, John C. (2003). Opciones, futuros y otros derivados . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Modelos de tasas de interés: teoría y práctica con Smile, Inflation and Credit (2.ª ed., 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Jessica James, Nick Webber (2000). Modelado de tasas de interés . Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6.

• El modelo Vasicek, Bjørn Eraker, Escuela de Negocios de Wisconsin
• Estimación y predicción de la curva de rendimiento con el modelo de Vasicek, D. Bayazit, Universidad Técnica del Medio Oriente