aproximación de Vecchia

Dejar${\displaystyle x}$ser un proceso gaussiano indexado por${\displaystyle {\mathcal {S}}}$con función media${\displaystyle \mu }$y función de covarianza${\displaystyle K}$. Supongamos que${\displaystyle S=\{s_{1},\dots ,s_{n}\}\subset {\mathcal {S}}}$es un subconjunto finito de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$y${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$es un vector de valores de${\displaystyle x}$evaluado en${\displaystyle S}$, es decir${\displaystyle x_{i}=x(s_{i})}$para${\displaystyle i=1,\dots ,n}$Supongamos además que se observa${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots,y_{n})}$dónde${\displaystyle y_{i}=x_{i}+\varepsilon _{i}}$con${\displaystyle \varepsilon _{i}{\overset {\text{iid}}{\sim }}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$En este contexto, las dos tareas de inferencia más comunes incluyen evaluar la probabilidad.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {y} )=\int f(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} ,}$

o hacer predicciones de valores de${\displaystyle x}$para${\displaystyle s^{*}\in {\mathcal {S}}}$y${\displaystyle s\not \in S}$, es decir, calculando

${\displaystyle f(x(s^{*})\mid y_{1},\dots ,y_{n}).}$

El método original de Vecchia comienza con la observación de que la densidad conjunta de observaciones${\displaystyle f(\mathbf {y} )=\left(y_{1},\dots ,y_{n}\right)}$puede escribirse como un producto de distribuciones condicionales

${\displaystyle f(\mathbf {y} )=f(y_{1})\prod _{i=2}^{n}f(y_{i}\mid y_{i-1},\dots ,y_{1}).}$

La aproximación de Vecchia supone en cambio que para algún${\displaystyle k\ll n}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {y} )=f(y_{1})\prod _{i=2}^{n}f(y_{i}\mid y_{i-1},\dots ,y_{\max(i-k,1)}).}$

Vecchia también sugirió que la aproximación anterior se aplicara a observaciones que se reordenan lexicográficamente utilizando sus coordenadas espaciales. Si bien su método simple tiene muchas debilidades, redujo la complejidad computacional a${\displaystyle {\mathcal {O}}(nk^{3})}$Muchas de sus deficiencias fueron subsanadas mediante las generalizaciones posteriores.

Para describir las extensiones del método Vecchia en su forma más general, defina${\displaystyle z_{i}=(x_{i},y_{i})}$y observe que para${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\dots ,z_{n})}$sostiene que, como en la sección anterior

${\displaystyle f(\mathbf {z} )=f(x_{1},y_{1})\left(\prod _{i=2}^{n}f(x_{i}\mid z_{1:i-1})\right)\left(\prod _{i=2}^{n}f(y_{i}\mid x_{i})\right)}$

porque dado${\displaystyle x_{i}}$todas las demás variables son independientes de${\displaystyle y_{i}}$.

Se ha señalado ampliamente que el ordenamiento lexicográfico original basado en coordenadas cuando${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es bidimensional produce malos resultados. ^{[ 6 ]} Más recientemente se han propuesto otros ordenamientos, algunos de los cuales aseguran que los puntos se ordenen de forma cuasi aleatoria. Altamente escalables, se ha demostrado que también mejoran drásticamente la precisión. ^{[ 4 ]}

De forma similar a la versión básica descrita anteriormente, para un ordenamiento dado se puede definir una aproximación general de Vecchia como

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {z} )=f(x_{1},y_{1})\left(\prod _{i=2}^{n}f(x_{i}\mid z_{q(i)})\right)\left(\prod _{i=2}^{n}f(y_{i}\mid x_{i})\right),}$

dónde${\displaystyle q(i)\subset \left\{1,\dots ,i-1\right\}}$. Desde${\displaystyle y_{i}\perp x_{-i},y_{-i}\mid x_{i}}$resulta que${\displaystyle f(x_{i}\mid z_{q(i)})=f(x_{i}\mid x_{q}(i),y_{q}(i))=f(x_{i}\mid x_{q}(i))}$ya que sugirió que los términos${\displaystyle f(x_{i}\mid z_{q(i)})}$ser reemplazado por${\displaystyle f(x_{i}\mid x_{q(i)})}$Sin embargo, resulta que a veces condicionar algunas de las observaciones${\displaystyle z_{i}}$aumenta la escasez del factor de Cholesky de la matriz de precisión de${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$Por lo tanto, uno podría considerar en cambio conjuntos${\displaystyle q_{y}(i)}$y${\displaystyle q_{x}(i)}$de tal manera que${\displaystyle q(i)=q_{y}(i)\cup q_{x}(i)}$y expresar${\displaystyle {\hat {f}}}$como

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {z} )=f(x_{1},y_{1})\left(\prod _{i=2}^{n}f(x_{i}\mid x_{q_{x}(i)},y_{q_{y}(i)})\right)\left(\prod _{i=2}^{n}f(y_{i}\mid x_{i})\right).}$

Múltiples métodos de elección${\displaystyle q_{y}(i)}$y${\displaystyle q_{x}(i)}$Se han propuesto, en particular el proceso gaussiano del vecino más cercano (NNGP), ^{[ 7 ]} el proceso gaussiano mallado ^{[ 8 ]} y los enfoques de aproximación de multirresolución (MRA) utilizando${\displaystyle q(i)=q_{x}(i)}$, Vecchia estándar usando${\displaystyle q(i)=q_{y}(i)}$y Vecchia General Escasa donde ambos${\displaystyle q_{y}(i)}$y${\displaystyle q_{x}(i)}$no están vacíos. ^{[ 5 ]}